Fokker–Planck ekvation

En lösning på den endimensionella Fokker–Planck-ekvationen, med både drift- och diffusionstermen. I detta fall är det initiala villkoret en Dirac deltafunktion centrerad från nollhastighet. Med tiden ökar fördelningen på grund av slumpmässiga impulser.

Inom statistisk mekanik är Fokker -Planck-ekvationen en partiell differentialekvation som beskriver tidsutvecklingen av sannolikhetstäthetsfunktionen för en partikels hastighet under påverkan av dragkrafter och slumpmässiga krafter, som i Brownsk rörelse . Ekvationen kan generaliseras till andra observerbara objekt också.

Den är uppkallad efter Adriaan Fokker och Max Planck , som beskrev den 1914 och 1917. Den är också känd som Kolmogorovs framåtriktade ekvation , efter Andrey Kolmogorov , som självständigt upptäckte den 1931. När den tillämpas på partikelpositionsfördelningar är den mer känd. som Smoluchowski-ekvationen (efter Marian Smoluchowski ), och i detta sammanhang är den likvärdig med konvektion-diffusionsekvationen . Fallet med nolldiffusion är kontinuitetsekvationen . Fokker-Planck-ekvationen erhålls från huvudekvationen genom Kramers -Moyal expansion .

Den första konsekventa mikroskopiska härledningen av Fokker-Planck-ekvationen i det enda schemat för klassisk och kvantmekanik utfördes av Nikolay Bogoliubov och Nikolay Krylov .

En dimension

I en rumslig dimension x , för en Itô-process som drivs av standard Wiener-processen $W_{t}$ och beskrivs av den stokastiska differentialekvationen (SDE)

$$dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{ t},t)\,dW_{t}$$

med drift $\mu (X_{t},t)$$X_ {t},t)=\sigma ^{2}(X_{t},t)/2}$ t , = , Fokker–Planck-ekvationen för sannolikhetstätheten $p(x,t)$ av slumpvariabeln $X_{t}$ är

$${\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\mu (x,t)p(x ,t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[D(x,t)p(x,t)\right].$$

Länk mellan Itô SDE och Fokker–Planck ekvationen

I det följande använder du $\sigma ={\sqrt {2D}}$ .

Definiera den infinitesimala generatorn ${\mathcal {L}}$ (följande kan hittas i Ref.):

$${\mathcal {L}}p(X_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\mathbb {E} { \big [}p(X_{t+\Delta t})\mid X_{t}=x{\big ]}-p(x)\right).$$

Övergångssannolikheten ${\displaystyle \mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')} ,$ sannolikheten att gå från $(t',x')$ till $(t,x)$ , introduceras här; förväntan kan skrivas som

$$\mathbb {E} (p(X_{t+\Delta t})\mid X_{t}=x)=\int p(y)\,\mathbb {P} _{t+\Delta t,t }(y\mid x)\,dy.$$

Nu ersätter vi i definitionen av ${\mathcal {L}}$ , multiplicera med $\mathbb {P} _{t,t'}(x \mid x')$ och integrera över $dx$ . Gränsen tas på

$$\int p(y)\int \mathbb {P} _{t+\Delta t,t}(y\mid x)\,\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x) ')\,dx\,dy-\int p(x)\,\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx.$$

Notera nu att

$${ \int \mathbb P} _{t+\Delta t,t}(y\mid x)\,\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx=\mathbb {P} _{t+ \Delta t,t'}(y\mid x'),$$

vilket är Chapman–Kolmogorovs sats. Om du ändrar dummyvariabeln $y$ till $x$ , får man

$${\begin{ aligned}\int p(x)\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\mathbb {P} _{t+\Delta t,t'}( x\mid x')-\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\right)\,dx,\end{aligned}}$$

som är en tidsderivata. Äntligen kommer vi till

$$\int [{\mathcal {L}}p(x)]\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx=\int p(x)\,\ partiell _{t}\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx.$$

Härifrån kan Kolmogorovs bakåtgående ekvation härledas. Om vi ​​istället använder adjointoperatorn för ${\mathcal {L}}$ , ${\mathcal {L}}^{\dolk }$ , definierad så att

$$\int [{\mathcal {L}}p(x)]\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx=\int p(x)[{\mathcal {L}} ^{\dolk }\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')]\,dx,$$

då kommer vi fram till Kolmogorovs framåtriktade ekvation, eller Fokker–Planck ekvationen, som, förenklat notationen $p(x,t)=\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')$ , i dess differentialform läses

$${\mathcal {L}}^{\dolk }p(x,t)=\partial _{t}p(x,t).$$

Återstår frågan om att explicit definiera ${\mathcal {L}}$ . Detta kan göras med förväntningarna från den integrerade formen av Itôs lemma :

$$\mathbb {E} {\big (}p(X_{t}){\big )}=p(X_{0})+\mathbb {E} \left(\int _{0}^{ t}\left(\partial _{t}+\mu \partial _{x}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\partial _{x}^{2}\right)p (X_{t'})\,dt'\right).$$

Den del som beror på $dW_{t}$ försvann på grund av martingalegenskapen.

Sedan, för en partikel som omfattas av en Itô-ekvation, använd

$${\mathcal {L}}=\mu \partial _{x}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\partial _{x}^{2},$$

det kan lätt beräknas, med hjälp av integrering av delar, att

$${\mathcal {L}}^{\dolk }=-\partial _{x}(\mu \cdot )+{\frac {1}{2}}\partial _{x}^{2}(\sigma ^{2}\cdot ),$$

som för oss till Fokker-Plancks ekvation:

$$\partial _{t}p(x,t)=-\partial _{x}{\big (}\mu (x,t)\cdot p(x,t){\big )}+\ partiell _{x}^{2}\left({\frac {\sigma (x,t)^{2}}{2}}\,p(x,t)\right).$$

Medan Fokker-Planck-ekvationen används med problem där den initiala fördelningen är känd, om problemet är att känna till fördelningen vid tidigare tidpunkter, kan Feynman-Kac-formeln användas, vilket är en konsekvens av Kolmogorovs bakåtriktade ekvation.

Den stokastiska processen som definieras ovan i Itô-bemärkelsen kan skrivas om inom Stratonovich -konventionen som en Stratonovich SDE:

$$dX_{t}=\left[\mu (X_{t},t)-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial X_{t}}}D( X_{t},t)\right]\,dt+{\sqrt {2D(X_{t},t)}}\circ dW_{t}.$$

Den inkluderar en extra brusinducerad driftterm på grund av diffusionsgradienteffekter om bruset är tillståndsberoende. Denna konvention används oftare i fysiska tillämpningar. Det är faktiskt välkänt att varje lösning på Stratonovich SDE är en lösning på Itô SDE.

Nolldriftekvationen med konstant diffusion kan betraktas som en modell av klassisk Brownsk rörelse :

$${\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)=D_{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left [p(x,t)\höger].$$

Denna modell har ett diskret spektrum av lösningar om villkoret för fasta gränser läggs till för $\{0\leq x\leq L\}$ :

$$p(0,t)=p(L,t)=0,$$

$$p(x,0)=p_{0}(x).$$

Det har visat sig att i detta fall ett analytiskt spektrum av lösningar gör det möjligt att härleda en lokal osäkerhetsrelation för koordinathastighetsfasvolymen:

$$\Delta x\,\Delta v\geq D_{0}.$$

Här är $D_{0}$ ett minimalt värde för ett motsvarande diffusionsspektrum $D_{j}$ , medan $\Delta x$ och $\Delta v$ representerar osäkerheten i definitionen av koordinat-hastighet.

Högre dimensioner

Mer generellt, om

$$d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\,d\mathbf {W} _{t},$$

där $\mathbf {X} _{t}$ och ${\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)$ är N -dimensionella slumpmässiga vektorer , ${\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)$ är en $N\ gånger M$ matris och $\mathbf {W} _{t}$ är en M -dimensionell standard Wienerprocess , sannolikhetstätheten $p(\mathbf {x} ,t)$ för $\mathbf {X} _{t}$ Fokker–Plancks ekvation

$${\frac {\partial p(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\ summa _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)p(\mathbf { x} ,t)\right]+\summa _{i=1}^{N}\summa _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i }\,\partial x_{j}}}\left[D_{ij}(\mathbf {x} ,t)p(\mathbf {x} ,t)\right],$$

med driftvektor ${\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\ldots ,\mu _{N})$ och diffusionstensor ${\textstyle \mathbf {D} ={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma \sigma }}^{\mathsf {T}}} ,$ dvs.

$$D_{ij}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{M}\sigma _{ik}(\mathbf {x } ,t)\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t).$$

Om istället för en Itô SDE övervägs en Stratonovich SDE ,

$$d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\ mathbf {X} _{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\circ d\mathbf {W} _{t},$$

Fokker-Plancks ekvation kommer att lyda:

$${\frac {\partial p(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\summa _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\mu _{ i}(\mathbf {x} ,t)\,p(\mathbf {x} ,t)\right]+{\frac {1}{2}}\summa _{k=1}^{M}\ summa _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left\{\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sum _{ j=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t)\,p(\mathbf {x } ,t)\right]\right\}$$

Exempel

Wienerprocess

En standard skalär Wienerprocess genereras av den stokastiska differentialekvationen

$$dX_{t}=dW_{t}.$$

Här är drifttermen noll och diffusionskoefficienten är 1/2. Således är motsvarande Fokker-Planck-ekvation

$${\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}p(x,t)}{\partial x^{2}}},$$

vilket är den enklaste formen av en diffusionsekvation . Om initialvillkoret är $p(x,0)=\delta (x)$ är lösningen

$$p(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-{x^{2}}/({2t})}.$$

Ornstein–Uhlenbeckprocessen

Ornstein –Uhlenbeck-processen är en process som definieras som

$$dX_{t}=-aX_{t}dt+\sigma dW_{t}.$$

med $a>0$ . Fysiskt kan denna ekvation motiveras enligt följande: en partikel med massan $m$ med hastigheten $V_{t}$ som rör sig i ett medium, t.ex. en vätska, kommer att uppleva en friktionskraft som motstår rörelse vars magnitud kan approximeras som proportionell mot partikelns hastighet $-aV_{t}$ med $a=\mathrm {constant}$ . Andra partiklar i mediet kommer slumpmässigt att sparka partikeln när de kolliderar med den och denna effekt kan approximeras med en term för vitt brus; $\sigma (dW_{t}/dt)$ . Newtons andra lag skrivs som

$$m{\frac {dV_{t}}{dt}}=-aV_{t}+\sigma {\frac {dW_{t}}{dt}}.$$

Att ta $m=1$ för enkelhetens skull och ändra notationen som $V_{t}\högerpil X_{t}$ leder till den välbekanta formen $dX_{t}=-aX_{t}dt+\sigma dW_{t}$ .

Motsvarande Fokker–Planck ekvation är

$${\frac {\partial p( x,t)}{\partial t}}=a{\frac {\partial }{\partial x}}\left(x\,p(x,t)\right)+{\frac {\sigma ^{ 2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}p(x,t)}{\partial x^{2}}},$$

Den stationära lösningen ( ${\displaystyle \partial _{t}p=0})$ är

$$p_{ss}(x)={\sqrt {\frac {a}{\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {ax^{2}}{\sigma ^ {2}}}}.$$

Plasmafysik

I plasmafysik är fördelningsfunktionen för en partikelart $s$ , $p_{s}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)$ , tar platsen för sannolikhetstäthetsfunktionen . Motsvarande Boltzmann-ekvation ges av

$${\frac {\partial p_{s}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol { \nabla }}p_{s}+{\frac {Z_{s}e}{m_{s}}}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right) \cdot {\boldsymbol {\nabla }}_{v}p_{s}=-{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}\left(p_{s}\langle \Delta v_{i }\rangle \right)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial v_{i}\,\partial v_{j}}}\left(p_{ s}\langle \Delta v_{i}\,\Delta v_{j}\rangle \right),$$

där den tredje termen inkluderar partikelaccelerationen på grund av Lorentz-kraften och Fokker-Planck-termen på höger sida representerar effekterna av partikelkollisioner. Storheterna $\langle \Delta v_{i}\rangle$ och $\langle \Delta v_{i}\,\Delta v_{j}\ rangle$ är den genomsnittliga förändringen i hastighet en partikel av typen $s$ upplever på grund av kollisioner med alla andra partikelarter i tidsenhet. Uttryck för dessa kvantiteter ges på annat håll. Om kollisioner ignoreras, reduceras Boltzmann-ekvationen till Vlasov-ekvationen .

Smoluchowskis diffusionsekvation

Smoluchowskis diffusionsekvation är Fokker–Planck-ekvationen begränsad till Brownska partiklar som påverkas av en yttre kraft $F(r)$ .

$$\partial _{t}P(r, t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot [D(\nabla -\beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})]$$

Där $D$ är diffusionskonstanten och $\beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}$ . Vikten av denna ekvation är att den tillåter både införandet av temperaturens inverkan på systemet av partiklar och en rumsberoende diffusionskonstant.

Härledning av Smoluchowski-ekvationen från Fokker-Planck-ekvationen

Med utgångspunkt från Langevin-ekvationen för en Brownsk partikel i externt fält ${\displaystyle F(r)} ,$ där $\gamma$ är friktionstermen, är $\xi$ en fluktuerande kraft på partikeln, och $\sigma$ är amplituden för fluktuationen.

$$m{\ddot {r}}=-\gamma {\dot {r}}+F(r)+\sigma \ xi (t)$$

Vid jämvikt är friktionskraften mycket större än tröghetskraften, $\left\vert \gamma {\dot {r}}\right\vert \gg \left\vert m{\ddot {r}}\right\vert$ . Därför blir Langevins ekvation,

$$\gamma {\dot {r}}=F(r)+\sigma \xi (t)$$

Vilket genererar följande Fokker–Planck ekvation,

$$\partial _{t}P (r,t|r_{0},t_{0})=\left(\nabla ^{2}{\frac {\sigma ^{2}}{2\gamma ^{2}}}-\nabla \ cdot {\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})$$

Ordna om Fokker-Planck ekvationen,

$$\partial _{t}P(r,t| r_{0},t_{0})=\nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0}, t_{0})$$

Där $D={\frac {\sigma ^{2}}{2\gamma ^{2}}}$ . Observera att diffusionskoefficienten inte nödvändigtvis är rumsligt oberoende om $\sigma$ eller $\gamma$ är rumsligt beroende.

Därefter ges det totala antalet partiklar i en viss volym av,

$$N_{V}(t|r_{0},t_{0})=\int _{V }drP(r,t|r_{0},t_{0})$$

Därför kan flödet av partiklar bestämmas genom att ta tidsderivatan av antalet partiklar i en given volym, plugga in Fokker-Plancks ekvation och sedan tillämpa Gauss sats .

$$\partial _{t}N_{V}(t|r_{0},t_{0})=\int _{V}dV\nabla \cdot \left(\nabla D- {\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})=\int _{\partial V}d\mathbf {a} \cdot j(r,t|r_{0},t_{0})$$

$$j(r,t|r_{0},t_{0}) =\left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})$$

I jämvikt antas det att flödet går till noll. Därför kan Boltzmann-statistik användas för sannolikheten för en partikelplacering i jämvikt, där $F(r)=-\nabla U(r)$ är en konservativ kraft och sannolikheten för att en partikel är i ett tillstånd $r$ ges som $P(r,t|r_{0} ,t_{0})={\frac {e^{-\beta U(r)}}{Z}}$ .

$$j(r,t|r_{0},t_{0})= \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right){\frac {e^{-\beta U(r)}}{Z}}=0$$

$$\Rightarrow \nabla D=F(r)\left({\frac {1}{\gamma }}-D\beta \right)$$

Denna relation är ett förverkligande av fluktuations-förlustsatsen . Använd nu $\nabla \cdot \nabla$ på $DP(r,t|r_{0},t_{0})$ och använd Fluktuationsförlustsats,

$${ \begin{aligned}\nabla \cdot \nabla DP(r,t|r_{0},t_{0})&=\nabla \cdot D\nabla P(r,t|r_{0},t_{0 })+\nabla \cdot P(r,t|r_{0},t_{0})\nabla D\\&=\nabla \cdot D\nabla P(r,t|r_{0},t_{ 0})+\nabla \cdot P(r,t|r_{0},t_{0}){\frac {F(r)}{\gamma }}-\nabla \cdot P(r,t|r_ {0},t_{0})D\beta F(r)\end{aligned}}$$

Ordna om,

$${\stil Högerpil \nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot D(\nabla -\beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})}$$

Därför blir Fokker-Planck ekvationen Smoluchowskis ekvation,

$$\partial _{t}P(r,t| r_{0},t_{0})=\nabla \cdot D(\nabla -\beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})$$

för en godtycklig kraft $F(r)$ .

Beräkningsmässiga överväganden

Brownsk rörelse följer Langevins ekvation , som kan lösas för många olika stokastiska krafter med ett medelvärde för resultaten (kanonisk ensemble i molekylär dynamik ). Istället för detta beräkningsintensiva tillvägagångssätt kan man använda Fokker–Planck-ekvationen och överväga sannolikheten $p(\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {v}$ av partikeln som har en hastighet i intervallet $(\mathbf {v} ,\mathbf {v} +d\mathbf {v} )$ när den börjar sin rörelse med ${ \displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ vid tidpunkten 0.

Brownian Dynamics-simulering för partiklar i 1-D linjär potential jämfört med lösningen av Fokker-Planck-ekvationen.

Exempel på linjär 1D-potential

Teori

Med en linjär potential av formen $U(x)=cx$ blir motsvarande Smoluchowskis ekvation,

$$\partial _{t}P(x,t|x_{ 0},t_{0})=\partial _{x}D(\partial _{x}+\beta c)P(x,t|x_{0},t_{0})$$

Där diffusionskonstanten, $D$ , är konstant över rum och tid. Gränsvillkoren är sådana att sannolikheten försvinner vid $x\rightarrow \pm \infty$ med ett initialt villkor för ensemblen av partiklar som börjar på samma plats, $P(x,t|x_{0},t_{0})=\delta (x-x_{0})$ .

Definiera $\tau =Dt$ och $b=\beta c$ och tillämpa koordinattransformationen,

$$y=x+\tau b,\ \ \ y_{0}=x_{0}+\tau _{0}b$$

Med $P(x,t,|x_{0},t_{0})=q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})$ Smoluchowki-ekvationen blir,

$$\partial _{\tau }q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})=\partial _{y}^{2}q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})$$

Vilket är den fria diffusionsekvationen med lösning,

$$q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi (\tau -\tau _{0})}}}e^{-{\frac {(y-y_{0})^ {2}}{4(\tau -\tau _{0})}}}$$

Och efter att ha transformerat tillbaka till de ursprungliga koordinaterna,

$$P(x,t|x_{0},t_{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi D(t-t_{0})}}}\exp {\left[{- {\frac {(x-x_{0}+D\beta c(t-t_{0}))^{2}}{4D(t-t_{0})}}}\höger]}$$

Simulering

Simuleringen till höger slutfördes med en Brownsk dynamiksimulering . Börjar med en Langevin-ekvation för systemet,

$$m{\ddot {x}}=-\gamma {\dot {x}}-c+\sigma \xi (t)$$

där $\gamma$ är friktionstermen, $\xi$ är en fluktuerande kraft på partikeln och $\sigma$ är fluktuationens amplitud. Vid jämvikt är friktionskraften mycket större än tröghetskraften, $\left|\gamma {\dot {x}}\right|\gg \left|m{\ddot {x}}\right|$ . Därför blir Langevins ekvation,

$$\gamma {\dot {x}}=-c+\sigma \xi (t)$$

För den Brownska dynamiska simuleringen antas fluktuationskraften $\xi (t)$ vara Gaussisk med amplituden beroende av systemets temperatur ${\textstyle \sigma = {\sqrt {2\gamma k_{\text{B}}T}}}$ . Att skriva om Langevins ekvation,

$${\frac {dx}{dt}}=-D\beta c+{\sqrt {2D}}\xi (t)$$

där ${\textstyle D={\frac {k_{\text{B}}T}{\gamma }}}$ är Einstein-relationen. Integreringen av denna ekvation gjordes med Euler-Maruyama-metoden för att numeriskt approximera vägen för denna Brownska partikel.

Lösning

Eftersom Fokker-Planck-ekvationen är en partiell differentialekvation kan den endast lösas analytiskt i speciella fall. En formell analogi av Fokker-Planck-ekvationen med Schrödinger-ekvationen tillåter användning av avancerade operatörstekniker kända från kvantmekaniken för sin lösning i ett antal fall. Vidare, i fallet med överdämpad dynamik när Fokker–Planck-ekvationen innehåller andra partiella derivator med avseende på alla rumsliga variabler, kan ekvationen skrivas i form av en masterekvation som enkelt kan lösas numeriskt. I många applikationer är man bara intresserad av steady-state sannolikhetsfördelningen ${\displaystyle p_{0}(x)} ,$ som kan hittas från ${\textstyle { \frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}=0}$ . Beräkningen av genomsnittliga första passagetider och delningssannolikheter kan reduceras till lösningen av en vanlig differentialekvation som är intimt relaterad till Fokker-Planck-ekvationen.

Särskilda fall med känd lösning och inversion

I matematisk finansiering för volatilitetssmilemodellering av optioner via lokal volatilitet har man problemet med att härleda en diffusionskoefficient ${\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)$ överensstämmer med en sannolikhetstäthet erhållen från marknadsoptioner. Problemet är därför en inversion av Fokker–Planck-ekvationen: Givet densiteten f(x,t) för optionen som ligger bakom X härledd från optionsmarknaden, syftar man till att hitta den lokala volatiliteten ${\$ överensstämmer med f . Detta är ett omvänt problem som har lösts generellt av Dupire (1994, 1997) med en icke-parametrisk lösning. Brigo och Mercurio (2002, 2003) föreslår en lösning i parametrisk form via en viss lokal volatilitet ${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)} som$ överensstämmer med en lösning av Fokker-Planck-ekvationen som ges av en blandningsmodell . Mer information finns också i Fengler (2008), Gatheral (2008) och Musiela och Rutkowski (2008).

Fokker–Planck ekvation och vägintegral

Varje Fokker–Planck-ekvation är ekvivalent med en vägintegral . Banintegralformuleringen är en utmärkt utgångspunkt för tillämpningen av fältteoretiska metoder. Detta används till exempel i kritisk dynamik .

En härledning av vägintegralen är möjlig på liknande sätt som i kvantmekaniken. Härledningen för en Fokker–Planck-ekvation med en variabel $x$ är som följer. Börja med att infoga en deltafunktion och sedan integrera med delar:

$${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}p{\left(x',t\right)}&=-{\frac {\partial }{\partial x' }}\left[D_{1}(x',t)p(x',t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial {x'}^{2}}} \left[D_{2}(x',t)p(x',t)\right]\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\ left(\left[D_{1}\left(x,t\right){\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}\left(x,t\right){\frac {\ partiell ^{2}}{\partial x^{2}}}\right]\delta \left(x'-x\right)\right)p\!\left(x,t\right).\end{ Justerat}}$$

x $x$ -derivatorna här verkar bara på $\delta$ -funktionen, inte på $p(x,t)}$ . Integrera över ett tidsintervall $\varepsilon$ ,

$$p(x',t+\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\,\mathrm {d} x\left(\left(1+\varepsilon \left[D_{1 }(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}} \right]\right)\delta (x'-x)\right)p(x,t)+O(\varepsilon ^{2}).$$

Sätt in Fourier-integralen

$$\delta {\left(x'-x\right)}=\int _ {-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} {\tilde {x}}}{2\pi i}}e^{{\tilde {x}}{\left( xx'\right)}}$$

för $\delta$ -funktionen,

$${\begin{aligned}p(x',t+\varepsilon )&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\int _{-i\infty }^{ i\infty }{\frac {\mathrm {d} {\tilde {x}}}{2\pi i}}\left(1+\varepsilon \left[{\tilde {x}}D_{1}( x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)\right]\right)e^{{\tilde {x}}(xx')}p(x, t)+O(\varepsilon ^{2})\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\int _{-i\infty }^{i \infty }{\frac {\mathrm {d} {\tilde {x}}}{2\pi i}}\exp \left(\varepsilon \left[-{\tilde {x}}{\frac {( x'-x)}{\varepsilon }}+{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)\ höger]\right)p(x,t)+O(\varepsilon ^{2}).\end{aligned}}$$

Denna ekvation uttrycker $p(x',t+\varepsilon )$ som funktionell av $p(x,t)$ . Att iterera $(t'-t)/\varepsilon$ gånger och utföra gränsen $\varepsilon \rightarrow 0$ ger en vägintegral med handling

$$S=\int \mathrm {d} t\left[{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x ,t)-{\tilde {x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}\right].$$

Variablerna ${\tilde {x}}$ konjugerar till $x$ kallas "svarsvariabler".

Även om de är formellt likvärdiga, kan olika problem lösas lättare i Fokker-Planck-ekvationen eller vägintegralformuleringen. Jämviktsfördelningen kan till exempel erhållas mer direkt från Fokker-Planck-ekvationen.

Se även

• Kolmogorov bakåt ekvation
• Boltzmanns ekvation
• Vlasov ekvation
• Master ekvation
• Mean-field spelteori
• Bogoliubov–Född–Grön–Kirkwood–Yvon ekvationshierarki
• Ornstein–Uhlenbeckprocessen
• Konvektion-diffusionsekvation
• Klein–Kramers ekvation

Vidare läsning

•   Frank, Till Daniel (2005). Icke-linjära Fokker–Planck-ekvationer: grunder och tillämpningar . Springer-serien i synergetik. Springer. ISBN 3-540-21264-7 .
•   Gardiner, Crispin (2009). Stokastiska metoder (4:e upplagan). Springer. ISBN 978-3-540-70712-7 .
•   Pavliotis, Grigorios A. (2014). Stokastiska processer och tillämpningar: diffusionsprocesser, Fokker-Planck och Langevins ekvationer . Springer Texts in Applied Mathematics. Springer. ISBN 978-1-4939-1322-0 .
•   Risken, Hannes (1996). Fokker–Plancks ekvation: Metoder för lösningar och tillämpningar . Springer Series in Synergetics (2:a upplagan). Springer. ISBN 3-540-61530-X .