Utbredningskonstant

Utbredningskonstanten för en sinusformad elektromagnetisk våg är ett mått på förändringen som genomgår av vågens amplitud och fas när den utbreder sig i en given riktning . Mängden som mäts kan vara spänningen , strömmen i en krets eller en fältvektor såsom elektrisk fältstyrka eller flödestäthet . Utbredningskonstanten i sig mäter förändringen per längdenhet , men den är i övrigt dimensionslös. I samband med tvåportsnätverk och deras kaskader mäter utbredningskonstanten förändringen som källkvantiteten genomgår när den fortplantar sig från en port till nästa.

Utbredningskonstantens värde uttrycks logaritmiskt , nästan universellt till basen e , snarare än den mer vanliga basen 10 som används i telekommunikation i andra situationer. Den uppmätta kvantiteten, såsom spänning, uttrycks som en sinusformad fasor . Fasen av sinusoiden varierar med avståndet vilket resulterar i att utbredningskonstanten är ett komplext tal , den imaginära delen orsakas av fasändringen.

Alternativa namn

Termen "utbredningskonstant" är något av en felaktig benämning eftersom den vanligtvis varierar kraftigt med ω . Det är förmodligen den mest använda termen men det finns en stor mängd alternativa namn som används av olika författare för denna kvantitet. Dessa inkluderar transmissionsparameter , transmissionsfunktion , utbredningsparameter , utbredningskoefficient och transmissionskonstant . Om plural används, antyder det att α och β refereras separat men kollektivt som i transmissionsparametrar , utbredningsparametrar , etc. I transmissionsledningsteori räknas α och β bland de "sekundära koefficienterna", termen sekundär används till kontrast till primärlinjekoefficienterna . De primära koefficienterna är de fysiska egenskaperna hos linjen, nämligen R,C,L och G, från vilka de sekundära koefficienterna kan härledas med hjälp av telegrafens ekvation . Observera att inom området transmissionslinjer har termen transmissionskoefficient en annan betydelse trots likheten i namnet: det är följeslagaren till reflektionskoefficienten .

Definition

Utbredningskonstanten, symbolen $γ$ , för ett givet system definieras av förhållandet mellan den komplexa amplituden vid vågkällan och den komplexa amplituden på något avstånd $x$ , så att,

{\frac {A_{0}}{A_{x}}}=e^{\gamma x}

Eftersom utbredningskonstanten är en komplex storhet kan vi skriva:

\gamma =\alpha +i\beta \

var

$α$ , den reella delen, kallas dämpningskonstanten
$β$ , den imaginära delen, kallas faskonstanten
$i\equiv j\equiv {\sqrt {-1\ }}\ ;$ oftare används $j för elektriska kretsar.$

Att $β$ verkligen representerar fas kan ses från Eulers formel :

e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }\

som är en sinusform som varierar i fas eftersom $θ$ varierar men inte varierar i amplitud eftersom

\left|e^{i\theta }\right|={\sqrt {\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2} {\theta }\;}}=1

Anledningen till användningen av bas $e$ är också nu klarlagd. Den imaginära faskonstanten, $i β$ , kan adderas direkt till dämpningskonstanten, $α$ , för att bilda ett enda komplext tal som kan hanteras i en matematisk operation förutsatt att de ligger på samma bas. Vinklar mätt i radianer kräver bas $e$ , så dämpningen är likaså i bas $e$ .

Utbredningskonstanten för ledande linjer kan beräknas från de primära linjekoefficienterna med hjälp av sambandet

\gamma ={\sqrt {ZY\ }}

var

Z=R+i\ \omega L\ ,}

displaystyle serieimpedansen för linjen per längdenhet och,

Y=G+i \ \omega C\ ,

shuntadmittansen för linjen per längdenhet .

Plan våg

Utbredningsfaktorn för en plan våg som rör sig i ett linjärt medium i $x$ -riktningen ges av

P=e^{-\gamma x}

var

${\textstil \gamma =\alpha +i\ \beta ={\sqrt {i\ \omega \ \mu \ (\sigma +i\ \ omega \varepsilon )\ }}\ }$
$x=$ sträcka tillryggalagd i $x-$ riktningen
$\alpha =\$ dämpningskonstant i enheterna nepers /meter
$\beta =\$ faskonstant i enheterna radianer /meter
$\omega =\$ frekvens i radianer/sekund
$\sigma =\$ medias konduktivitet
$\varepsilon =\varepsilon '-i\ \varepsilon ''\$ = medias komplexa permitivitet
$\mu =\mu '-i\ \mu ''\;$ = medias komplexa permeabilitet
$i\equiv {\sqrt {-1\ }}$

Teckenkonventionen är vald för överensstämmelse med spridning i förlustgivande media. Om dämpningskonstanten är positiv, minskar vågamplituden när vågen fortplantar sig i $x$ -riktningen.

Våglängd , fashastighet och huddjup har enkla relationer till komponenterna i utbredningskonstanten:

\lambda ={\frac {2\pi }{\beta }}\qquad v_{p}={\frac {\omega }{\beta }}\qquad \delta ={\frac {1}{\alpha }}

Dämpningskonstant

Inom telekommunikation är termen dämpningskonstant , även kallad dämpningsparameter eller dämpningskoefficient , dämpningen av en elektromagnetisk våg som utbreder sig genom ett medium per enhetsavstånd från källan. Det är den verkliga delen av utbredningskonstanten och mäts i nepers per meter. En neper är ungefär 8,7 dB . Dämpningskonstanten kan definieras av amplitudförhållandet

\left|{\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right|=e^{\alpha x}

Utbredningskonstanten per längdenhet definieras som den naturliga logaritmen av förhållandet mellan den sändande ändströmmen eller spänningen och den mottagande ändströmmen eller spänningen.

Ledande linjer

Dämpningskonstanten för ledande ledningar kan beräknas från primärledningskoefficienterna enligt ovan. För en linje som uppfyller det distorsionsfria tillståndet , med en konduktans G i isolatorn, ges dämpningskonstanten av

\alpha ={\sqrt {RG}}\,\!

emellertid är det osannolikt att en verklig linje uppfyller detta villkor utan tillägg av laddningsspolar och dessutom finns det vissa frekvensberoende effekter som verkar på de primära "konstanterna" som orsakar ett frekvensberoende av förlusten. Det finns två huvudkomponenter till dessa förluster, metallförlusten och den dielektriska förlusten.

Förlusten av de flesta transmissionsledningar domineras av metallförlusten, som orsakar ett frekvensberoende på grund av ändlig ledningsförmåga hos metaller, och hudeffekten inuti en ledare. Hudeffekten gör att R längs med ledaren är ungefär frekvensberoende enl

R\propto {\sqrt {\omega }}

Förluster i dielektrikumet beror på förlusttangensen (tan δ ) för materialet dividerat med signalens våglängd. De är alltså direkt proportionella mot frekvensen.

\alpha _{d}={{\pi }{\sqrt {\varepsilon _{r}}} \över {\lambda }}{\tan \delta }

Optisk fiber

Dämpningskonstanten för en viss utbredningsmod i en optisk fiber är den reella delen av den axiella utbredningskonstanten.

Faskonstant

I elektromagnetisk teori är faskonstanten , även kallad fasändringskonstant , parameter eller koefficient den imaginära komponenten av utbredningskonstanten för en plan våg. Den representerar förändringen i fas per längdenhet längs vägen som vågen färdas vid varje ögonblick och är lika med den reella delen av vågens vinkelvågnummer . Den representeras av symbolen β och mäts i enheter av radianer per längdenhet.

Från definitionen av (vinkel) vågnummer för TEM-vågor i förlustfria media:

k={\frac {2\pi }{\lambda }}=\beta

För en transmissionslinje säger Heaviside -tillståndet i telegrafistens ekvation att vågnumret måste vara proportionellt mot frekvensen för att vågens överföring ska vara oförvrängd i tidsdomänen . Detta inkluderar, men är inte begränsat till, det ideala fallet med en förlustfri linje. Orsaken till detta tillstånd kan ses genom att överväga att en användbar signal är sammansatt av många olika våglängder i frekvensdomänen. För att det inte ska finnas någon förvrängning av vågformen måste alla dessa vågor färdas med samma hastighet så att de kommer längst ut på linjen samtidigt som en grupp . Eftersom vågfashastigheten ges av

v_{p}={\frac {\lambda }{T}}={\frac {f}{\tilde {\nu }}}={ \frac {\omega }{\beta }},

det är bevisat att β måste vara proportionell mot ω . När det gäller primära koefficienter för linjen, ger detta från telegrafens ekvation för en distorsionsfri linje villkoret

\beta =\omega {\sqrt {LC}},

där L och C är induktansen respektive kapacitansen per längdenhet av ledningen. Praktiska linjer kan dock endast förväntas ungefär uppfylla detta villkor över ett begränsat frekvensband.

I synnerhet är faskonstanten $\beta$ inte alltid ekvivalent med vågnumret $k$ . Generellt sett följande relation

\beta =k

är hållbar mot TEM- vågen (tvärgående elektromagnetisk våg) som färdas i fritt utrymme eller TEM-enheter som koaxialkabeln och två parallella ledningar överföringsledningar . Ändå är den ogiltig för TE- vågen (tvärgående elektrisk våg) och TM -vågen (tvärgående magnetisk våg). Till exempel, i en ihålig vågledare där TEM-vågen inte kan existera men TE- och TM-vågor kan fortplanta sig,

k={\frac {\omega }{c}}

\beta =k{\sqrt {1-{\frac {\omega _{c}^{2}}{\omega ^{2}}}}}

Här är $\omega _{c}$ gränsfrekvensen . I en rektangulär vågledare är gränsfrekvensen

\omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right )^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}},

där $m,n\geq 0$ är lägestalen för rektangelns längdsidor $a$ respektive $b$ . För TE-lägen, $m,n\geq 0$ (men $m=n=0$ är inte tillåtet), medan för TM-lägen $m,n\geq 1$ .

Fashastigheten är lika med

v_{p}={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {c}{\sqrt {1-{ \frac {\omega _{\mathrm {c} }^{2}}{\omega ^{2}}}}}}>c

Faskonstanten är också ett viktigt begrepp inom kvantmekaniken eftersom momentum $p$ för ett kvant är direkt proportionellt mot det, dvs.

p=\hbar \beta

där $ħ$ kallas den reducerade Planck-konstanten (uttalas "h-stapel"). Den är lika med Planck-konstanten dividerad med $2 π$ .

Filter och tvåportsnätverk

Termen utbredningskonstant eller utbredningsfunktion tillämpas på filter och andra tvåportsnätverk som används för signalbehandling . I dessa fall uttrycks dock dämpnings- och faskoefficienterna i termer av neper och radianer per nätverkssektion snarare än per längdenhet. Vissa författare gör skillnad mellan mått per längdenhet (för vilka "konstant" används) och mått per sektion (för vilka "funktion" används).

Utbredningskonstanten är ett användbart koncept i filterdesign som alltid använder en kaskadsektionstopologi . I en kaskadad topologi kan utbredningskonstanten, dämpningskonstanten och faskonstanten för enskilda sektioner helt enkelt läggas till för att hitta den totala utbredningskonstanten etc.

Kaskadkopplade nätverk

Tre nätverk med godtyckliga utbredningskonstanter och impedanser kopplade i kaskad. Zi - _termerna representerar bildimpedans och det antas att kopplingar finns mellan matchande bildimpedanser.

Förhållandet mellan utsignal och inspänning för varje nätverk ges av

{\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I2 }}}}e^{\gamma _{1}}

{\frac {V_{2}}{V_{3}}}={ \sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I3}}}}e^{\gamma _{2}}

{\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I3}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{3}}

Termerna ${\sqrt {\frac {Z_{In}}{Z_{Im}}}}$ är termer för impedansskalning och deras användning förklaras i bildimpedansartikeln .

Det totala spänningsförhållandet ges av

{\frac {V_{1}}{V_{ 4}}}={\frac {V_{1}}{V_{2}}}\cdot {\frac {V_{2}}{V_{3}}}\cdot {\frac {V_{3}} {V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3 }}

Således för n kaskadkopplade sektioner som alla har matchande impedanser vända mot varandra, ges den totala utbredningskonstanten av

\gamma _{\mathrm {total} }=\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}+\cdots +\gamma _{n}

Se även

Begreppet penetrationsdjup är ett av många sätt att beskriva absorptionen av elektromagnetiska vågor. För de andra, och deras inbördes samband, se artikeln: Matematiska beskrivningar av opacitet .

Utbredningshastighet

Anteckningar

Den här artikeln innehåller material från allmän egendom från Federal Standard 1037C . General Services Administration . Arkiverad från originalet 2022-01-22. .
Matthaei, Young, Jones mikrovågsfilter, impedansmatchande nätverk och kopplingsstrukturer McGraw-Hill 1964.

externa länkar

"Förökningskonstant" . Mikrovågsuppslagsverk. 2011. Arkiverad från originalet (Online) den 14 juli 2014 . Hämtad 2 februari 2011 .
Paschotta, Dr Rüdiger (2011). "Förökningskonstant" (online) . Encyclopedia of Laser Physics and Technology . Hämtad 2 februari 2011 .
Janezic, Michael D.; Jeffrey A. Jargon (februari 1999). "Komplex permittivitetsbestämning från utbredningskonstantmätningar" ( PDF) . IEEE mikrovågsugn och guidade vågbokstäver . 9 (2): 76–78. doi : 10.1109/75.755052 . Hämtad 2 februari 2011 . Gratis PDF-nedladdning är tillgänglig. Det finns en uppdaterad version daterad den 6 augusti 2002.