Heaviside skick

Heaviside -villkoret , uppkallat efter Oliver Heaviside (1850–1925), är villkoret som en elektrisk transmissionsledning måste uppfylla för att det inte ska finnas någon förvrängning av en sänd signal. Även känt som det distorsionsfria tillståndet , kan det användas för att förbättra prestandan hos en transmissionsledning genom att lägga till belastning på kabeln.

Skicket

Heavisides modell av en transmissionsledning.

En transmissionsledning kan representeras som en distribuerad elementmodell av dess primära linjekonstanter som visas i figuren. De primära konstanterna är kabelns elektriska egenskaper per längdenhet och är: kapacitans C (i farad per meter), induktans L (i henries per meter), serieresistans R ( i ohm per meter) och shuntkonduktans G ( i siemens per meter). Serieresistansen och shuntkonduktiviteten orsakar förluster i ledningen; för en idealisk transmissionslinje, $\scriptstyle R=G=0$ .

Heaviside-villkoret är uppfyllt när

${\frac {G}{C}}={\frac {R}{L}}.$

Detta villkor är för ingen förvrängning, men inte för ingen förlust.

Bakgrund

En signal på en transmissionslinje kan bli förvrängd även om linjekonstanterna, och den resulterande transmissionsfunktionen , alla är perfekt linjära. Det finns två mekanismer: för det första kan dämpningen av linjen variera med frekvensen vilket resulterar i en förändring av formen på en puls som sänds längs linjen. För det andra, och vanligtvis mer problematiskt, orsakas distorsion av ett frekvensberoende på fashastigheten hos de sända signalens frekvenskomponenter. Om olika frekvenskomponenter i signalen sänds med olika hastigheter blir signalen "utsmetad" i rum och tid, en form av distorsion som kallas dispersion .

Detta var ett stort problem på den första transatlantiska telegrafkabeln och ledde till att teorin om orsakerna till spridningen undersöktes först av Lord Kelvin och sedan av Heaviside som upptäckte hur det kunde motverkas. Spridning av telegrafpulser , om de är tillräckligt allvarliga, kommer att få dem att överlappa med intilliggande pulser, vilket orsakar vad som nu kallas intersymbolinterferens . 1⁄15 För att förhindra intersymbolinterferens var det nödvändigt att minska överföringshastigheten för den transatlantiska telegrafkabeln till motsvarande baud . Detta är en exceptionellt långsam dataöverföringshastighet, även för mänskliga operatörer som hade stora svårigheter att använda en morse-nyckel så långsamt.

För röstkretsar (telefon) är frekvenssvarsdistorsionen vanligtvis viktigare än dispersion, medan digitala signaler är mycket känsliga för dispersionsdistorsion. För alla typer av analog bildöverföring som video eller fax måste båda typerna av distorsion elimineras.

Härledning

Transmissionsfunktionen för en transmissionsledning definieras i termer av dess in- och utspänningar när den är korrekt avslutad (det vill säga utan reflektioner) som

${\frac {V_{\mathrm {in} }}{V_{\mathrm {out} }}}=e^{\gamma x}$

där $x$ representerar avståndet från sändaren i meter och

$\gamma =\alpha +j\beta \,$

är de sekundära linjekonstanterna , α är dämpningen i nepers per meter och β är fasändringskonstanten i radianer per meter. För ingen distorsion α är oberoende av vinkelfrekvensen ω , medan β måste vara proportionell mot ω . Detta krav på proportionalitet mot frekvens beror på förhållandet mellan hastigheten v , och faskonstanten , där β ges av,

$v={\frac {\omega }{\beta }}$

och kravet att fashastigheten, v , är konstant vid alla frekvenser.

Förhållandet mellan de primära och sekundära linjekonstanterna ges av

$\gamma ^{2}=(\alpha +j\beta )^{2}=(R +j\omega L)(G+j\omega C)\,$

som måste ha formen $\scriptstyle (A+j\omega B)^{2}$ för att uppfylla det distorsionsfria villkoret. Det enda sättet detta kan vara så är om $\scriptstyle (R+j\omega L)$ och $\scriptstyle (G+j\omega C) )$ skiljer sig inte med mer än en verklig konstant faktor. Eftersom båda har en verklig och imaginär del, måste de verkliga och imaginära delarna oberoende av varandra relateras av samma faktor, så att;

${\frac {R}{G}}={\frac {j\omega L}{j\omega C}}$

och Heaviside-tillståndet är bevisat.

Linjeegenskaper

De sekundära konstanterna för en linje som uppfyller Heaviside-villkoret är följaktligen, i termer av de primära konstanterna:

Försvagning,

$\alpha ={\sqrt {RG}}$ nepers/meter

Fasändringskonstant,

$\beta =\omega {\sqrt {LC}}$ radianer/meter

Fashastighet,

$v={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ meter/sekund

Karakteristisk impedans

Den karakteristiska impedansen för en överföringsledning med förlust ges av

$Z_{0}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}$

I allmänhet är det inte möjligt att impedansmatcha denna transmissionslinje vid alla frekvenser med något ändligt nätverk av diskreta element eftersom sådana nätverk är rationella funktioner av jω, men i allmänhet är uttrycket för karakteristisk impedans irrationellt på grund av kvadratrottermen. Men för en linje som uppfyller Heaviside-villkoret finns det en gemensam faktor i fraktionen som tar bort de frekvensberoende termerna som lämnar,

$Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}},$

som är ett reellt tal, och oberoende av frekvens. Linjen kan därför impedansmatchas med bara ett motstånd i vardera änden. Detta uttryck för $\scriptstyle R=0 ,\ G=0$$\displaystyle \scriptstyle Z_{0}={\sqrt {L/C}}}$ är detsamma som för en förlustfri linje ( ) med samma L och C , även om dämpningen (på grund av R och G ) givetvis fortfarande är närvarande.

Praktisk användning

Ett exempel på laddad kabel

En riktig linje, särskilt en som använder moderna syntetiska isolatorer, kommer att ha ett G som är mycket lågt och kommer vanligtvis inte i närheten av att uppfylla Heaviside-villkoret. Den normala situationen är det

${\frac {G}{C}}\ll {\frac {R}{L}}.$

För att få en linje att uppfylla Heaviside-villkoret måste en av de fyra primära konstanterna justeras och frågan är vilken. G skulle kunna ökas, men detta är högst oönskat eftersom ökad G kommer att öka förlusten. Att minska R skickar förlusten i rätt riktning, men detta brukar fortfarande inte vara en tillfredsställande lösning. R måste minskas med en stor bråkdel och för att göra detta måste ledarens tvärsnitt ökas dramatiskt. Detta gör inte bara kabeln mycket mer skrymmande utan ökar också avsevärt mängden koppar (eller annan metall) som används och därmed kostnaden. Att minska kapacitansen gör också kabeln mer skrymmande (eftersom isoleringen nu måste vara tjockare) men är inte så kostsamt som att öka kopparhalten. Detta lämnar ökande L vilket är den vanliga lösningen som används.

Den erforderliga ökningen av L uppnås genom att ladda kabeln med en metall med hög magnetisk permeabilitet . Det är också möjligt att ladda en kabel av konventionell konstruktion genom att lägga till diskreta laddningsspolar med jämna mellanrum. Detta är inte identiskt med en distribuerad belastning, skillnaden är att det med laddningsspolar är distorsionsfri överföring upp till en bestämd gränsfrekvens över vilken dämpningen ökar snabbt.

Att ladda kablar för att uppfylla Heaviside-villkoret är inte längre en vanlig praxis. Istället placeras nu regelbundet åtskilda digitala repeatrar i långa rader för att bibehålla önskad form och varaktighet för pulser för långdistansöverföring.

Se även

• Maxwells ekvationer
• Telegrafens ekvationer

Bibliografi

•   Nahin, Paul J, Oliver Heaviside: The Life, Work, and Times of an Electrical Genius of the Victorian Age , JHU Press, 2002 ISBN 0801869099 . Se särskilt s. 231-232.
•   Schroeder, Manfred Robert, Fractals, Chaos, Power Laws , Courier Corporation, 2012 ISBN 0486134784 .