Upplösning av singulariteter

För tekniken som används för graf C*-algebror och Leavitt-vägalgebror, se Graf C*-algebra § Desingularisering .
Stark desingularisering av Observera att upplösningen inte stannar efter den första sprängningen , när den strikta transformationen är jämn, men när det är enkla normala korsningar med de exceptionella divisorerna.

Inom algebraisk geometri frågar problemet med upplösning av singulariteter om varje algebraisk variant V har en upplösning, en icke-singular variant W med en riktig birational karta W → V . För sorter över fält med karakteristisk 0 detta bevisades i Hironaka (1964), medan det för sorter över fält med karakteristisk p är ett öppet problem i dimensioner minst 4.

Definitioner

Ursprungligen var problemet med upplösning av singulariteter att hitta en icke-singular modell för funktionsfältet för en varietet X , med andra ord en komplett icke-singular varietet X' med samma funktionsfält. I praktiken är det bekvämare att be om ett annat villkor enligt följande: en sort X har en upplösning av singulariteter om vi kan hitta en icke-singular sort X′ och en riktig birational karta från X′ till X . Villkoret att kartan är korrekt behövs för att utesluta triviala lösningar, som att ta X′ för att vara undervarianten av icke-singulära punkter av X .

Mer generellt är det ofta användbart att lösa singulariteterna för en variant X inbäddad i en större variant W . Anta att vi har en sluten inbäddning av X i en vanlig variant W . En stark desingularisering av X ges av en korrekt birational morfism från en vanlig sort W ′ till W under förutsättning av några av följande villkor (det exakta valet av villkor beror på författaren):

  1. Den strikta transformationen X′ av X är regelbunden och tvärs över det exceptionella stället för upplösningsmorfismen (så den löser särskilt singulariteterna för X ).
  2. Kartan från den strikta transformationen av X till X är en isomorfism borta från singularpunkterna för X .
  3. W ′ konstrueras genom att upprepade gånger spränga regelbundna slutna subvarieteter av W eller starkare regelbundna subvarieteter av X , tvärs över det exceptionella stället för de tidigare sprängningarna.
  4. Konstruktionen av W ′ är funktionell för jämna morfismer till W och inbäddningar av W i en större variation. (Det kan inte göras funktionellt för alla (inte nödvändigtvis jämna) morfismer på något rimligt sätt.)
  5. Morfismen från X′ till X beror inte på inbäddningen av X i W . Eller generellt sett är sekvensen av sprängningar funktionell med avseende på mjuka morfismer .

Hironaka visade att det finns en stark desingularisering som uppfyller de tre första villkoren ovan närhelst X definieras över ett fält med karakteristik 0, och hans konstruktion förbättrades av flera författare (se nedan) så att den uppfyller alla villkor ovan.

Upplösning av singulariteter av kurvor

Varje algebraisk kurva har en unik icke-singular projektiv modell, vilket innebär att alla upplösningsmetoder är i huvudsak desamma eftersom de alla konstruerar denna modell. I högre dimensioner är detta inte längre sant: sorter kan ha många olika icke-singulära projektiva modeller.

Kollár (2007) listar omkring 20 sätt att bevisa upplösning av singulariteter av kurvor.

Newtons metod

Upplösning av singulariteter av kurvor bevisades huvudsakligen först av Newton ( 1676 ), som visade att det fanns Puiseux-serier för en kurva från vilken upplösningen lätt följer.

Riemanns metod

Riemann konstruerade en slät Riemann-yta från funktionsfältet för en komplex algebraisk kurva, vilket ger en upplösning av dess singulariteter. Detta kan göras över mer allmänna fält genom att använda uppsättningen av diskreta värderingsringar av fältet som ett substitut för Riemann-ytan.

Albanese metod

Albaneses metod består i att ta en kurva som spänner över ett projektivt utrymme av tillräckligt stor dimension (mer än dubbelt så mycket som kurvan) och upprepade gånger projicera ner från singulära punkter till projektiva utrymmen av mindre dimension. Denna metod sträcker sig till högre dimensionella varianter och visar att alla n -dimensionella varianter har en projektiv modell med singulariteter av mångfald som mest n !. För en kurva är n = 1 , och det finns alltså inga singularpunkter.

Normalisering

Muhly & Zariski (1939) gav en ettstegsmetod för att lösa singulariteter i en kurva genom att ta normaliseringen av kurvan. Normalisering tar bort alla singulariteter i kodimension 1, så det fungerar för kurvor men inte i högre dimensioner.

Värderingsringar

En annan metod i ett steg för att lösa singulariteter i en kurva är att ta ett utrymme av värderingsringar av kurvans funktionsfält. Detta utrymme kan göras till en icke-singular projektiv kurva birational till den ursprungliga kurvan.

Spränga

Huvudartikel: Sprängning

Att upprepade gånger spränga singularpunkterna i en kurva kommer så småningom att lösa singulariteterna. Huvuduppgiften med denna metod är att hitta ett sätt att mäta komplexiteten i en singularitet och att visa att sprängning förbättrar detta mått. Det finns många sätt att göra detta. Till exempel kan man använda det aritmetiska släktet för kurvan.

Noethers metod

Noethers metod tar en plan kurva och tillämpar upprepade gånger kvadratiska transformationer (bestäms av en singular punkt och två punkter i allmän position). Så småningom producerar detta en plan kurva vars enda singulariteter är vanliga multipelpunkter (alla tangentlinjer har multiplicitet två).

Bertinis metod

Bertinis metod liknar Noethers metod. Den börjar med en plan kurva och tillämpar upprepade gånger birationella transformationer på planet för att förbättra kurvan. De birationala transformationerna är mer komplicerade än de kvadratiska transformationerna som används i Noethers metod, men ger det bättre resultatet att de enda singulariteterna är vanliga dubbelpunkter.

Upplösning av singulariteter av ytor

Ytor har många olika icke-singulära projektiva modeller (till skillnad från fallet med kurvor där den icke-singulära projektiva modellen är unik). Men en yta har fortfarande en unik minimal upplösning som alla andra tar igenom (alla andra är upplösningar av den). I högre dimensioner behöver det inte finnas en minimal upplösning.

Det gjordes flera försök att bevisa upplösning för ytor över de komplexa talen av Del Pezzo (1892) , Levi (1899) , Severi (1914) . Chisini (1921) och Albanese (1924) , men Zariski (1935 , kapitel I, avsnitt 6) påpekar att inget av dessa tidiga försök är kompletta, och alla är vaga (eller till och med fel) vid någon kritisk punkt i argumentationen. Det första rigorösa beviset gavs av Walker (1935) , och ett algebraiskt bevis för alla områden med karakteristisk 0 gavs av Zariski (1939) . Abhyankar (1956) gav ett bevis för ytor med egenskaper som inte är noll. Upplösning av singulariteter har också visats för alla utmärkta 2-dimensionella scheman (inklusive alla aritmetiska ytor) av Lipman (1978) .

Zariskis metod

Zariskis metod för upplösning av singulariteter för ytor är att upprepade gånger alternera normalisering av ytan (vilket dödar kodimension 1 singulariteter) med sprängande punkter (vilket gör kodimension 2 singulariteter bättre, men kan introducera nya kodimension 1 singulariteter). Även om detta kommer att lösa ytornas singulariteter av sig själv, använde Zariski en mer rundgångsmetod: han bevisade först ett lokalt uniformeringsteorem som visade att varje värdering av en yta kunde lösas, använde sedan kompaktheten hos Zariski-Riemann-ytan för att visa att den är möjligt att hitta en ändlig uppsättning ytor så att centrum för varje värdering är enkel på åtminstone en av dessa ytor, och slutligen genom att studera birationalkartor mellan ytor visade att denna ändliga uppsättning ytor kunde ersättas med en enda icke-singular yta.

Jungs metod

Genom att tillämpa stark inbäddad upplösning för kurvor reducerar Jung (1908) till en yta med endast ganska speciella singulariteter (abelska kvotsingulariteter) som sedan behandlas explicit. Den högre dimensionella versionen av denna metod är de Jongs metod.

Albanesisk metod

I allmänhet visar analogen till Albaneses metod för kurvor att man för vilken sort som helst kan reducera till singulariteter av ordning högst n !, där n är dimensionen. För ytor reduceras detta till fallet med singulariteter av ordning 2, som är lätta nog att göra explicit.

Abhyankars metod

Abhyankar (1956) bevisade upplösning av singulariteter för ytor över ett fält av vilken egenskap som helst genom att bevisa ett lokalt uniformeringsteorem för värderingsringar. Det svåraste fallet är värderingsringar av rang 1 vars värderingsgrupp är en icke-diskret undergrupp av de rationella talen. Resten av beviset följer Zariskis metod.

Hironakas metod

Hironakas metod för godtyckliga karakteristiska varianter ger en upplösningsmetod för ytor, vilket innebär att upprepade gånger blåsa upp punkter eller jämna kurvor i singulära uppsättningen.

Lipmans metod

Lipman (1978) visade att en yta Y (ett 2-dimensionellt reducerat Noetherian-schema) har en desingularisering om och endast om dess normalisering är ändlig över Y och analytiskt normal (fullbordandet av dess singularpunkter är normala) och har endast ändligt många singular poäng. I synnerhet om Y är utmärkt så har det en desingularisering.

Hans metod var att betrakta normala ytor Z med en birational karta till Y och visa att det finns en minimal med minimalt möjligt aritmetiskt släkte. Han visar sedan att alla singulariteter av detta minimala Z är pseudorationella, och visar att pseudorationella singulariteter kan lösas genom att upprepade gånger spränga punkter.

Upplösning av singulariteter i högre dimensioner

Problemet med upplösning av singulariteter i högre dimensioner är ökänt för många felaktiga publicerade bevis och tillkännagivanden av bevis som aldrig dök upp.

Zariskis metod

För 3-faldigt bevisades upplösningen av singulariteter i karakteristisk 0 av Zariski (1944) . Han bevisade först ett teorem om lokal enhetlighet av värderingsringar, giltigt för sorter av vilken dimension som helst över vilket fält som helst med egenskap 0. Han visade sedan att Zariski- Riemann-utrymmet för värderingar är kvasikompakt (för alla varianter av vilken dimension som helst över vilket fält som helst. ), vilket antyder att det finns en ändlig familj av modeller av vilken projektiv sort som helst så att varje värdering har ett jämnt centrum över åtminstone en av dessa modeller. Den sista och svåraste delen av beviset, som använder det faktum att sorten är av dimension 3 men som fungerar för alla egenskaper, är att visa att givet 2 modeller kan man hitta en tredje som löser singulariteterna som var och en av de två givna modellerna lösa.

Abhyankars metod

Abhyankar (1966) bevisade upplösning av singulariteter för 3-faldiga egenskaper större än 6. Begränsningen av egenskapen uppstår eftersom Abhyankar visar att det är möjligt att lösa vilken singularitet som helst av en 3-faldig multiplicitet mindre än egenskapen, och sedan använder Albaneses metod för att visa att singulariteter kan reduceras till de av mångfald som mest (dimension)! = 3! = 6. Cutkosky (2009) gav en förenklad version av Abhyankars bevis.

Cossart och Piltant ( 2008 , 2009 ) bevisade upplösning av singulariteter av 3-faldigt i alla egenskaper, genom att bevisa lokal enhetlighet i dimension som högst 3, och sedan kontrollera att Zariskis bevis på att detta innebär upplösning för 3-faldigt fortfarande fungerar i den positiva egenskapen fall.

Hironakas metod

Upplösning av singulariteter i karakteristisk 0 i alla dimensioner bevisades först av Hironaka (1964) . Han bevisade att det var möjligt att lösa singulariteter av varieteter över fält med karakteristisk 0 genom att upprepade gånger spränga upp längs icke-singulära subvarieteter, med hjälp av ett mycket komplicerat argument genom induktion av dimensionen. gavs av flera personer, inklusive Bierstone , & 1991-97 , Villamayor (1992) Encinas ) Villamayor (1998) , Encinas & Hauser (2002) , Wlodarczyk (2005) , Kollár (2007) . Några av de senaste bevisen är ungefär en tiondel av längden på Hironakas originalbevis och är lätta nog att ge i en inledande forskarutbildning. För en redogörelse för satsen, se ( Hauser 2003 ) och för en historisk diskussion se ( Hauser 2000) .

De Jongs metod

de Jong (1996) fann ett annat tillvägagångssätt för upplösning av singulariteter, och generaliserade Jungs metod för ytor, som användes av Bogomolov & Pantev (1996) och av Abramovich & de Jong (1997) för att bevisa upplösning av singulariteter i karakteristiska 0. De Jongs metoden gav ett svagare resultat för sorter av alla dimensioner i karakteristiken p , som var tillräckligt stark för att fungera som ett substitut för upplösning för många ändamål. De Jong bevisade att för varje sort X över ett fält finns det en dominerande riktig morfism som bevarar dimensionen från en vanlig sort till X . Detta behöver inte vara en birational karta, så är inte en upplösning av singulariteter, eftersom den kan vara generiskt ändlig till en och så involverar en finit förlängning av funktionsfältet för X . De Jongs idé var att försöka representera X som en fibrering över ett mindre utrymme Y med fibrer som är kurvor (detta kan innebära att modifiera X ), sedan eliminera singulariteterna för Y genom induktion på dimensionen, och sedan eliminera singulariteterna i fibrerna.

Lösning för scheman och status för problemet

Det är lätt att utvidga definitionen av resolution till alla system. Inte alla scheman har upplösningar av sina singulariteter: Grothendieck (1965 , avsnitt 7.9) visade att om ett lokalt Noether-schema X har egenskapen att man kan lösa singulariteterna för vilket ändligt integralschema som helst över X , då måste X vara quasi-utmärkt . Grothendieck föreslog också att det omvända kan gälla: med andra ord, om ett lokalt Noetherian schema X är reducerat och nästan utmärkt, så är det möjligt att lösa dess singulariteter. När X definieras över ett fält med karakteristisk 0 och är Noetherian, följer detta av Hironakas sats, och när X har dimension som högst 2 bevisades det av Lipman.

Hauser (2010) gav en översikt över arbetet med det olösta karakteristiska p -upplösningsproblemet.

Bevismetod i karakteristik noll

Den kvardröjande uppfattningen att beviset på upplösning är mycket hårt avvek gradvis från verkligheten. ... det är möjligt att bevisa upplösning under de sista två veckorna av en inledande algebraisk geometrikurs.

( Kollár 2007 , Föreläsningar om upplösning av singulariteter)

Det finns många konstruktioner av stark desingularisering men alla ger i huvudsak samma resultat. I varje fall ersätts det globala objektet (varianten som ska desingulariseras) av lokala data (den ideala bunten av sorten och de för de exceptionella divisorerna och några ordningar som representerar hur mycket som bör lösas av idealet i det steget). Med dessa lokala data definieras sprängningscentrumen. Centrumen kommer att definieras lokalt och därför är det ett problem att garantera att de matchar upp till ett globalt centrum. Detta kan göras genom att definiera vilka sprängningar som tillåts för att lösa varje ideal. Görs på lämpligt sätt kommer detta att göra att centern matchar automatiskt. Ett annat sätt är att definiera en lokal invariant beroende på variationen och historiken för upplösningen (de tidigare lokala centran) så att centra består av invariantens maximala locus. Definitionen av detta är gjort så att det är meningsfullt att göra detta val, vilket ger smidiga centra tvärs över de exceptionella divisorerna.

I båda fallen reduceras problemet för att lösa singulariteter hos tupeln som bildas av den ideala kärven och extra data (de exceptionella divisorerna och den ordning, d , till vilken upplösningen ska gå för det idealet). Denna tupel kallas ett markerat ideal och den uppsättning punkter där idealets ordning är större än d kallas dess medstöd. Beviset på att det finns en upplösning för de markerade idealen görs genom induktion på dimension. Induktionen bryter i två steg:

  1. Funktionell desingularisering av markerade ideal av dimension n − 1 innebär funktionell desingularisering av markerade ideal av maximal storleksordning n .
  2. Funktionell desingularisering av markerade ideal av maximal storleksordning n innebär funktionell desingularisering av (ett allmänt) markerat ideal av dimension n .

Här säger vi att ett markerat ideal är av maximal ordning om vid någon punkt av dess medstöd ordningen för idealet är lika med d . En nyckelingrediens i den starka upplösningen är användningen av Hilbert-Samuel-funktionen i de lokala ringarna av punkterna i sorten. Detta är en av komponenterna i upplösningsinvarianten.

Exempel

Mångfalden behöver inte minska under blowup

Den mest uppenbara invarianten av en singularitet är dess mångfald. Detta behöver dock inte minska under blowup, så det är nödvändigt att använda mer subtila invarianter för att mäta förbättringen.

Till exempel har rhamphoid cusp y 2 = x 5 en singularitet av ordning 2 vid origo. Efter att ha blåst upp vid sin singulära punkt blir det den vanliga cusp y 2 = x 3 , som fortfarande har multiplicitet 2.

Det är tydligt att singulariteten har förbättrats, eftersom graden av definierande polynom har minskat. Detta händer inte i allmänhet. Ett exempel där det inte gör det ges av den isolerade singulariteten av x 2 + y 3 z + z 3 = 0 vid origo. Att spränga den ger singulariteten x 2 + y 2 z + yz 3 = 0. Det är inte direkt uppenbart att denna nya singularitet är bättre, eftersom båda singulariteterna har multiplicitet 2 och ges av summan av monomer av grader 2, 3, och 4.

Att blåsa upp de mest sällsynta punkterna fungerar inte

Whitney paraply

En naturlig idé för att förbättra singulariteter är att spränga platsen för de "värsta" singulariteterna. Whitney- paraplyet x 2 = y 2 z har singularis satt z- axeln, vars de flesta punkt är vanliga dubbelpunkter, men det finns en mer komplicerad nyppunktssingularitet vid origo, så att spränga de värsta singulära punkterna föreslår att man bör börja genom att spränga ursprunget. Men att spränga ursprunget återger samma singularitet på ett av koordinatdiagrammen. Så att spränga de (uppenbarligen) "värsta" singulariteterna förbättrar inte singulariteten. Istället kan singulariteten lösas genom att blåsa upp längs z -axeln.

Det finns algoritmer som fungerar genom att spränga de "sämsta" singulära punkterna i någon mening, såsom ( Bierstone & Milman 1997), men detta exempel visar att definitionen av de "sämsta" punkterna måste vara ganska subtil.

För mer komplicerade singulariteter, såsom x 2 = y m z n som är singular längs x = yz =0, ger en sprängning av den värsta singulariteten vid origo singulariteterna x 2 = y m + n −2 z n och x 2 = y m z m + n −2 som är sämre än den ursprungliga singulariteten om m och n båda är minst 3.

Efter upplösning är den totala transformationen (föreningen av den strikta transformationen och de exceptionella divisorerna) en varietet med singulariteter av typen enkla normala korsningar. Det är naturligt att överväga möjligheten att lösa singulariteter utan att lösa denna typ av singulariteter, detta är att hitta en upplösning som är en isomorfism över uppsättningen av jämna och enkla normala korsningspunkter. När den strikta transformationen är en divisor (dvs. kan inbäddas som en samdimension av en undervarietet i en jämn variant) är det känt att det finns en stark upplösning som undviker enkla normala korsningspunkter. Whitneys paraply visar att det inte är möjligt att lösa singulariteter för att undvika att spränga de normala korsningarnas singulariteter.

Inkrementella upplösningsprocedurer behöver minne

Ett naturligt sätt att lösa singulariteter är att upprepade gånger spränga någon kanoniskt vald jämn undervarietet. Detta stöter på följande problem. Singularmängden x 2 = y 2 z 2 är linjeparet som ges av y- och z -axlarna. De enda rimliga sorterna att spränga är ursprunget, en av dessa två axlar, eller hela singulära uppsättningen (båda axlarna). Hela singularuppsättningen kan dock inte användas eftersom den inte är jämn, och att välja en av de två axlarna bryter symmetrin mellan dem så det är inte kanoniskt. Det betyder att vi måste börja med att spränga ursprunget, men detta återger den ursprungliga singulariteten, så vi verkar gå runt i cirklar.

Lösningen på detta problem är att även om sprängning av ursprunget inte ändrar typen av singularitet, ger det en subtil förbättring: det bryter symmetrin mellan de två singulära axlarna eftersom en av dem är en exceptionell divisor för en tidigare sprängning, så det är nu tillåtet att spränga bara en av dessa. Men för att kunna utnyttja detta måste resolutionsförfarandet behandla dessa två singulariteter olika, även om de lokalt är desamma. Detta görs ibland genom att ge upplösningsproceduren lite minne, så mitten av blowupen vid varje steg beror inte bara på singulariteten, utan på de tidigare blowups som användes för att producera den.

Upplösningar är inte funktionella

Konisk singularitet x 2 + y 2 = z 2

Vissa upplösningsmetoder (i karakteristik 0) är funktionella för alla mjuka morfismer. Det är dock inte möjligt att hitta en stark upplösningsfunktion för alla (möjligen icke-släta) morfismer. Ett exempel ges av kartan från det affina planet A 2 till den koniska singulariteten x 2 + y 2 = z 2 som tar ( X , Y ) till (2 XY , X 2 − Y 2 , X 2 + Y 2 ). XY -planet är redan icke-singular, så det bör inte ändras med upplösning, och varje upplösning av den koniska singulariteten faktoriseras genom den minimala upplösningen som ges genom att spränga singulära punkten . Den rationella kartan från XY -planet till denna blowup sträcker sig dock inte till en vanlig karta.

Minimala upplösningar behöver inte finnas

Minimala upplösningar (upplösningar som alla upplösningsfaktorer genom dem) finns i dimensionerna 1 och 2, men inte alltid i högre dimensioner. Atiyah -floppen ger ett exempel i 3 dimensioner av en singularitet utan minimal upplösning. Låt Y vara nollorna till xy = zw i A 4 , och låt V vara uppblåsningen av Y vid origo. Det exceptionella stället för denna uppblåsning är isomorft till P 1 × P 1 , och kan blåsas ner till P 1 på 2 olika sätt, vilket ger två små upplösningar X 1 och X 2 av Y , av vilka ingen kan blåsas ner ytterligare.

Upplösningar ska inte pendla med produkter

Kollár (2007 , exempel 3.4.4, sidan 121) ger följande exempel som visar att man inte kan förvänta sig ett tillräckligt bra upplösningsförfarande för att pendla med produkter. Om f : A → B är uppblåsningen av ursprunget för en kvadrisk kon B i affint 3-rum, då kan f × f : A × A → B × B inte produceras med en etale lokal upplösningsprocedur, huvudsakligen på grund av den exceptionella platsen har 2 komponenter som skär varandra.

Singulariteter av toriska sorter

Singulariteter av toriska varianter ger exempel på högdimensionella singulariteter som är lätta att lösa explicit. En torisk sort definieras av en fläkt, en samling kottar i ett galler. Singulariteterna kan lösas genom att dela upp varje kon i en förening av koner som var och en genereras av en bas för gittret, och ta motsvarande toriska variant.

Att välja centra som är vanliga undervarianter av X

Konstruktion av en desingularisering av en sort X kanske inte producerar centra av sprängningar som är jämna undervarianter av X . Många konstruktioner av en desingularisering av en abstrakt sort X fortgår genom att lokalt bädda in X i en jämn variant W , med tanke på dess ideal i W och beräkna en kanonisk desingularisering av detta ideal. Avsingulariseringen av ideal använder idealets ordning som ett mått på hur singular är idealet. Desingulariseringen av idealet kan göras så att man kan motivera att de lokala centra lappar ihop för att ge globala centra. Denna metod leder till ett bevis som är relativt enklare att presentera, jämfört med Hironakas originalbevis, som använder Hilbert-Samuel-funktionen som mått på hur dåliga singulariteter är. Till exempel, bevisen i Villamayor (1992) , Encinas & Villamayor (1998) , Encinas & Hauser (2002) och Kollár (2007) använder denna idé. Den här metoden säkerställer dock bara centra för sprängningar som är regelbundna i W .

Följande exempel visar att denna metod kan producera centra som har ojämna skärningar med (strikt transformation av) X . Därför erhålls inte den resulterande desingulariseringen, när den är begränsad till den abstrakta varieteten X , genom att spränga regelbundna undervarieteter av X .

0 Låt X vara undervarianten av det fyrdimensionella affina planet, med koordinaterna x,y,z,w , genererad av y 2 - x 3 och x 4 + xz 2 - w 3 . Den kanoniska desingulariseringen av idealet med dessa generatorer skulle spränga mitten C givet av x = y = z = w =0. Transformen av idealet i x -diagrammet om den genereras av x - y 2 och y 2 ( y 2 + z 2 - w 3 ). Nästa centrum för att spränga C 1 ges av x = y =0. Den strikta transformationen av X är dock X 1 , som genereras av x - y 2 och y 2 + z 2 - w 3 . Detta betyder att skärningspunkten mellan C 1 och X 1 ges av x = y =0 och z 2 - w 3 =0, vilket inte är regelbundet.

För att producera centra av sprängningar som är regelbundna undervariationer av X använder starkare bevis Hilbert-Samuel-funktionen för de lokala ringarna av X snarare än ordningen för dess ideal i den lokala inbäddningen i W .

Andra varianter av upplösningar av singulariteter

Efter upplösningen är den totala transformationen, föreningen av den strikta transformationen, X och den exceptionella divisorn, en varietet som i bästa fall kan fås att ha enkla normala korsande singulariteter. Då är det naturligt att överväga möjligheten att lösa singulariteter utan att lösa denna typ av singulariteter. Problemet är att hitta en upplösning som är en isomorfism över uppsättningen av jämna och enkla normala korsningspunkter. När X är en divisor, dvs den kan bäddas in som en samdimension-en-undervarietet i en jämn varietet, är det känt att det finns en stark upplösning som undviker enkla normala korsningspunkter. Det allmänna fallet eller generaliseringarna för att undvika olika typer av singulariteter är fortfarande inte känt.

Att undvika vissa singulariteter är omöjligt. Till exempel kan man inte lösa singulariteter genom att undvika att spränga de normala korsningarnas singulariteter. Faktum är att för att lösa nyppunktssingulariteten måste hela singularlokuset sprängas, inklusive punkter där normala korsande singulariteter finns.

Bibliografi

externa länkar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Resolution_of_singularities&oldid=1089479014 "