Lokal uniformering

I algebraisk geometri är lokal uniformering en svag form av upplösning av singulariteter , som grovt anger att en varietet kan desingulariseras nära vilken värdering som helst, eller med andra ord att Zariski-Riemann-utrymmet för sorten i någon mening är nonsingular. Lokal uniformering introducerades av Zariski ( 1939 , 1940 ), som skilde ut problemet med att lösa en sorts singulariteter i problemet med lokal uniformering och problemet med att kombinera de lokala uniformeringarna till en global desingularisering.

Lokal enhetlighet av en sort vid en värdering av dess funktionsfält innebär att hitta en projektiv modell av sorten så att centrum för värderingen är icke-singular. Detta är svagare än upplösning av singulariteter: om det finns en upplösning av singulariteter är detta en modell så att centrum för varje värdering är icke-singular. Zariski (1944b) bevisade att om man kan visa lokal enhetlighet av en sort så kan man hitta ett ändligt antal modeller så att varje värdering har ett icke-singulart centrum på åtminstone en av dessa modeller. För att fullborda ett bevis på upplösning av singulariteter är det då tillräckligt att visa att man kan kombinera dessa ändliga modeller till en enda modell, men detta verkar ganska svårt. (Lokal enhetlighet vid en värdering innebär inte direkt upplösning i centrum av värderingen: grovt sett; det innebär bara upplösning i en sorts "kil" nära denna punkt, och det verkar svårt att kombinera upplösningarna för olika kilar till en upplösning vid ett tillfälle.)

Zariski (1940) bevisade lokal enhetlighet av sorter i valfri dimension över fält med karakteristik 0, och använde detta för att bevisa upplösning av singulariteter för sorter i karakteristisk 0 av dimension som högst 3. Lokal enhetlighet i positiv egenskap verkar vara mycket svårare. Abhyankar ( 1956 , 1966 ) bevisade lokal enhetlighet i alla egenskaper för ytor och i egenskaper åtminstone 7 för 3-faldig, och kunde härleda global upplösning av singulariteter i dessa fall från detta. Cutkosky (2009) förenklade Abhyankars långa bevis. Cossart och Piltant ( 2008 , 2009 ) utökade Abhyankars bevis på lokal uniformering av 3-faldiga till de återstående egenskaperna 2, 3 och 5. Temkin (2013) visade att det är möjligt att hitta en lokal uniformering av vilken värdering som helst efter att ha tagit en renodlad oskiljaktig förlängning av funktionsfältet.

Lokal enhetlighet i positiv egenskap för sorter med dimension minst 4 är (från och med 2019) ett öppet problem.

•   Abhyankar, Shreeram (1956), "Lokal uniformering på algebraiska ytor över markfält med karakteristiska p ≠0", Annals of Mathematics , Second Series, 63 ( 3): 491–526, doi : 10.2307/1970014 , JSTOR 001 407 , 81  
•   Abhyankar, Shreeram S. (1966), Upplösning av singulariteter av inbäddade algebraiska ytor , Springer Monographs in Mathematics, Acad. Press, doi : 10.1007/978-3-662-03580-1 , ISBN 3-540-63719-2 (1998 2:a upplagan)
•   Cossart, Vincent; Piltant, Olivier (2008), "Resolution of singularities of threefolds in positive characteristic. I. Reduction to local uniformization on Artin–Schreier and purely inseparable covers" , Journal of Algebra , 320 (3): 1051–1082, doi : 10.1016/ j.jalgebra.2008.03.032 , MR 2427629
•   Cossart, Vincent; Piltant, Olivier (2009), "Resolution of singularities of threefolds in positive characteristic. II" (PDF) , Journal of Algebra , 321 (7): 1836–1976, doi : 10.1016/j.jalgebra.2008.11.030 ,47MR 124 , 47MR 1976
•     Cutkosky, Steven Dale (2009), "Resolution of singularities for 3-folds in positive characteristic", Amer. J. Math. , 131 (1): 59–127, arXiv : math/0606530 , doi : 10.1353/ajm.0.0036 , JSTOR 40068184 , MR 2488485 , S2CID 2139305
•    Temkin, Michael (2013), "Inseparable local uniformization", J. Algebra , 373 : 65–119, arXiv : 0804.1554 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2012.09.023 , S101 719 , 501 709 , 519
•   Zariski, Oscar (1939), "Reduktionen av singulariteterna hos en algebraisk yta", Ann. av matte. , 2, 40 (3): 639–689, doi : 10.2307/1968949 , JSTOR 1968949
•    Zariski, Oscar (1940), "Lokal uniformering på algebraiska varieteter", Ann. av matte. , 2, 41 (4): 852–896, doi : 10.2307/1968864 , JSTOR 1968864 , MR 0002864
•    Zariski, Oscar (1944a), "The compactness of the Riemann manifold of an abstract field of algebraic functions", Bulletin of the American Mathematical Society, 50 ( 10): 683–691, doi : 10.1090/S0002-9904-1944-08206 -2 , ISSN 0002-9904 , MR 0011573
•    Zariski, Oscar (1944b), "Reduktion av singulariteterna för algebraiska tredimensionella varianter", Ann. av matte. , 2, 45 (3): 472–542, doi : 10.2307/1969189 , JSTOR 1969189 , MR 0011006

externa länkar

• "Local uniformization" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]