Flip (matematik)

I algebraisk geometri är vippor och floppar operationsoperationer av kodimension 2 som uppstår i det minimala modellprogrammet , som ges genom att blåsa upp längs en relativ kanonisk ring . I dimension 3 används flips för att konstruera minimala modeller, och två två birationellt ekvivalenta minimalmodeller är sammankopplade med en sekvens av floppar. Det förmodas att detsamma gäller i högre dimensioner.

Det minimala modellprogrammet

Det minimala modellprogrammet kan sammanfattas mycket kort enligt följande: givet en variation $X$ konstruerar vi en sekvens av kontraktioner ${\displaystyle X=X_{1}\ högerpil X_{2}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{n}} ,$ som var och en drar ihop några kurvor på vilka den kanoniska divisorn $K_{X_{i}}$ är negativ. Så småningom $K_{X_{n}}$ bli nef (åtminstone i fallet med icke-negativ Kodaira-dimension ), vilket är det önskade resultatet. Det stora tekniska problemet är att sorten ${\displaystyle X_{i}} i något skede$ kan bli "för singular", i den meningen att den kanoniska divisorn $K_{X_{i}}$ är inte längre en Cartier divisor , så skärningstalet $K_{X_{i}}\cdot C$ med en kurva $C$ är inte ens definierat.

Den (konjekturiska) lösningen på detta problem är flip . Givet ett problematiskt $X_{i}$ enligt ovan, är vändningen av $X_{i}$ en birational karta (i själva verket en isomorfism i kodimension 1) $f\colon X_{i}\rightarrow X_{i}^{+}$ till en variant vars singulariteter är 'bättre' än de för $X_{i}$ . Så vi kan sätta $X_{i+1}=X_{i}^{+}$ och fortsätta processen.

Två stora problem med vändningar är att visa att de finns och att visa att man inte kan ha en oändlig sekvens av vändningar. Om båda dessa problem kan lösas kan det minimala modellprogrammet genomföras. Förekomsten av vändningar för 3-veck bevisades av Mori (1988) . Förekomsten av stock flips, en mer allmän typ av flip, i dimension tre och fyra bevisades av Shokurov ( 1993 , 2003 ) vars arbete var grundläggande för lösningen av existensen av stock flips och andra problem i högre dimension. Förekomsten av stock flips i högre dimensioner har avgjorts av (Caucher Birkar, Paolo Cascini & Christopher D. Hacon et al. 2010 ) . Å andra sidan är problemet med avslutning – att bevisa att det inte kan finnas någon oändlig sekvens av vändningar – fortfarande öppet i dimensioner större än 3.

Definition

Om $f\colon X\to Y$ är en morfism, och K är den kanoniska bunten av X , så är den relativa kanoniska ringen av f

\bigoplus _{m}f_{*}({\mathcal {O}}_{X}(mK))

och är en bunt av graderade algebror över kärven ${\mathcal {O}}_{Y}$ av reguljära funktioner på Y . Sprängningen

f^{+}\colon X^{+}=\operatörsnamn {Proj} {\big (} \bigoplus _{m}f_{*}({\mathcal {O}}_{X}(mK)){\big )}\to Y

av Y längs den relativa kanoniska ringen är en morfism till Y . Om den relativa kanoniska ringen genereras ändligt (som en algebra över ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}} ) så$ kallas morfismen $f^{+}$ flip av $f$ om $-K$ är relativt riklig, och floppen för $f$ om K är relativt trivial. (Ibland kallas den inducerade birationella morfismen från $X$ till ${\displaystyle X^{+}} en flip eller flopp.)$

I applikationer är $f$ ofta en liten sammandragning av en extremal stråle, vilket innebär flera extra egenskaper:

De exceptionella uppsättningarna av båda kartorna $f$ och $f^{+}$ har en samdimension på minst 2,
$X$ och $X^{+}$ har bara milda singulariteter, såsom terminalsingulariteter .
$f$ och $f^{+}$ är birationella morfismer på Y , vilket är normalt och projektivt.
Alla kurvor i fibrerna i $f$ och $f^{+}$ är numeriskt proportionella.

Exempel

Det första exemplet på en flopp, känd som Atiyah-floppen , hittades i ( Atiyah 1958) . Låt Y vara nollorna för $xy=zw$ i $\mathbb {A} ^{4}$ , och låt V vara uppblåsningen av Y vid origo. Det exceptionella stället för denna uppblåsning är isomorft till $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ och kan blåsas ner till $\mathbb {P} ^{1}$ på två olika sätt, vilket ger varianterna $X_{1}$ och $X_{2}$ . Den naturliga birational kartan från $X_{1}$ till $X_{2}$ är Atiyah-floppen.

Reid (1983) introducerade Reids pagod , en generalisering av Atiyahs flopp som ersätter Y med nollorna till $xy=(z+w^{k})(zw ^{k})$ .

Atiyah, Michael Francis (1958), "På analytiska ytor med dubbla punkter", Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences , 247 (1249): 237–244, Bibcode : 1958RSPSA.247..237A , doi : 10.1098/rspa.1958.0181 , MR 0095974
Birkar, Caucher ; Cascini, Paolo; Hacon, Christopher D. ; McKernan, James (2010), "Existence of minimal models for varieties of stock general type", Journal of the American Mathematical Society , 23 (2): 405–468, arXiv : math.AG/0610203 , Bibcode : 2010JAMS... 23..405B , doi : 10.1090/S0894-0347-09-00649-3 , ISSN 0894-0347 , MR 2601039
Corti, Alessio (december 2004), "Vad är...en flip?" ( PDF ) , Notices of the American Mathematical Society , 51 (11): 1350–1351 , hämtad 2008-01-17
Kollár, János (1991), "Flip och flopp", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I, II (Kyoto, 1990) , Tokyo: Math. Soc. Japan, s. 709–714, MR 1159257
Kollár, János (1991), "Flips, flopps, minimal models, etc", Surveys in differential geometry (Cambridge, MA, 1990) , Bethlehem, PA: Lehigh Univ., s. 113–199, MR 1144527
Kollár, János ; Mori, Shigefumi (1998), Birational Geometry of Algebraic Varieties , Cambridge University Press , ISBN 0-521-63277-3
Matsuki, Kenji (2002), Introduktion till Mori-programmet , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98465-0 , MR 1875410
Mori, Shigefumi (1988), "Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds", Journal of the American Mathematical Society , 1 ( 1): 117–253, doi : 10.1090/s0894-0347-1988-0924704- x , JSTOR 1990969 , MR 0924704
Morrison, David (2005), Flops, flips och matrisfaktorisering (PDF) , Algebraic Geometry and Beyond, RIMS, Kyoto University
Reid, Miles (1983), "Minimala modeller av kanoniska $3$ -veck", Algebraiska varianter och analytiska varianter (Tokyo, 1981) , Adv. Hingst. Pure Math., vol. 1, Amsterdam: North-Holland, s. 131–180, MR 0715649
Shokurov, Vyacheslav V. (1993), Tredimensionella stock flips. Med en bilaga på engelska av Yujiro Kawamata, vol. 1, ryska acad. Sci. Izv. Matematik. 40, s. 95–202.
Shokurov, Vyacheslav V. (2003), Prelimiting flips , Proc. Steklov Inst. Matematik. 240, s. 75–213.