Undergruppstillväxt

Inom matematiken är undergruppstillväxt en gren av gruppteorin , som behandlar kvantitativa frågor om undergrupper i en given grupp .

Låt $G$ vara en ändligt genererad grupp . Sedan, för varje heltal $n$ definiera $a_{n}(G)$ som antalet undergrupper $H$ av index $n$ i $G$ . På liknande sätt, om $G$ är en topologisk grupp , anger $s_{n}(G)$ antalet öppna undergrupper $U$ av index $n$ i $G$ . Man definierar på liknande sätt $m_{n}(G)$ och $s_{n}^{\triangleleft }(G)$ för att beteckna antalet maximala och normala undergrupper av index $n$ , respektive.

Undergruppstillväxt studerar dessa funktioner, deras samspel och karaktäriseringen av gruppteoretiska egenskaper i termer av dessa funktioner.

Teorin motiverades av önskan att räkna upp ändliga grupper av given ordning, och analogin med Mikhail Gromovs begrepp om ordtillväxt .

Nilpotenta grupper

Låt $G$ vara en ändligt genererad torsionsfri nilpotent grupp . Sedan finns det en sammansättningsserie med oändliga cykliska faktorer, som inducerar en bijektion (inte nödvändigtvis en homomorfism ).

$\mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow G$

så att gruppmultiplikation kan uttryckas med polynomfunktioner i dessa koordinater; i synnerhet är multiplikationen definierbar . Med hjälp av metoder från modellteorin för p-adiska heltal visade F. Grunewald, D. Segal och G. Smith att den lokala zetafunktionen

$\zeta _{G,p}(s)=\summa _{\nu =0}^{\infty }s_{p^{n}}(G)p^{-ns}$

är en rationell funktion i $p^{-s}$ .

Som ett exempel, låt $G$ vara den diskreta Heisenberg-gruppen . Denna grupp har en "presentation" med generatorer $x,\,y,\,z$ och relationer

$[x,y]=z,[x,z]=[y,z]=1.$

Därför kan element i $G$ representeras som trippel $(a,\,b,\,c)$ av heltal med gruppoperation ges av

$(a,b,c)\circ (a',b',c')=(a+a',b+b',c+c'+ab').$

Till varje finit indexundergrupp U $\displaystyle U}$ av $G$ , associera uppsättningen av alla "bra baser" av $U$ enligt följande. Observera att $G$ har en normal serie

$G=\langle x,y,z\rangle \triangleright \langle y,z\rangle \triangleright \langle z\ rangle \triangleright 1$

med oändliga cykliska faktorer . En trippel $(g_{1},g_{2},g_{3})\in G$ kallas en bra grund för $U$ , om $g_{1},g_{2},g_{3}$ genererar $U$ och $g_{2}\in \langle y,z\rangle ,g_{3}\in \langle z\rangle$ . I allmänhet är det ganska komplicerat att bestämma mängden bra baser för en fast undergrupp $U$ . För att övervinna denna svårighet bestämmer man mängden av alla goda baser för alla finita indexundergrupper, och bestämmer hur många av dessa som tillhör en given undergrupp. För att göra detta exakt måste man bädda in Heisenberg-gruppen över heltal i gruppen över p-adiska tal . Efter några beräkningar kommer man fram till formeln

$\zeta _{G,p}(s)={\frac {1}{(1-p^{-1})^{3}}}\int _{\ mathcal {M}}|a_{11}|_{p}^{s-1}|a_{22}|_{p}^{s-2}|a_{33}|_{p}^{s -3}\;d\mu ,$

där $\mu$ är Haarmåttet på $\mathbb {Z} _{p}$ , $|\cdot |_{p}$ anger det p-adiska absoluta värdet och ${\mathcal {M}}$ är uppsättningen av tuplar av $p$ -adiska heltal

$\{a_{11},a_{12},a_{13},a_{22},a_{23},a_ {33}\}$

Så att

$\{x^{a_{11}}y^{a_{12}}z^{a_{13} },y^{a_{22}}z^{a_{23}},z^{a_{33}}\}$

är en bra grund för någon undergrupp med ändligt index. Det senare villkoret kan översättas till

$a_{33}|a_{11}\cdot a_{22}$ .

Nu kan integralen omvandlas till en itererad summa för att ge

$\zeta _{G,p}(s)=\summa _{a\ geq 0}\sum _{b\geq 0}\sum _{c=0}^{a+b}p^{-as-b(s-1)-c(s-2)}={\frac {1-p^{3-3s}}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})(1-p^{2-2s})(1-p^{ 2-3s})}}$

där den slutliga utvärderingen består av upprepad tillämpning av formeln för värdet på den geometriska serien . Av detta drar vi slutsatsen att $\zeta _{G}(s)$ kan uttryckas i termer av Riemanns zeta-funktion som

$\zeta _{G}(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)\zeta (2s-2)\zeta (2s-3)}{\zeta (3s- 3)}}.$

För mer komplicerade exempel blir beräkningarna svåra, och i allmänhet kan man inte förvänta sig ett slutet uttryck för $\zeta _{G}(s)$ . Den lokala faktorn

$\zeta _{G,p}(s)$

kan alltid uttryckas som en definierbar $p$ -adic integral. Genom att tillämpa ett resultat av MacIntyre på modellteorin för $p$ -adiska heltal, drar man återigen slutledning om att $\zeta _{G}(s)$ är en rationell funktion i $p^{-s}$ . Dessutom M. du Sautoy och F. Grunewald att integralen kan approximeras av Artin L-funktioner . Genom att använda det faktum att Artin L-funktioner är holomorfa i en grannskap av linjen ${\displaystyle \Re (s)=1} ,$ visade de att för varje vridningsfri nilpotent grupp, funktionen $\zeta _{G}(s)$ är meromorf i domänen

$\Re (s)>\alpha -\delta$

där $\alpha$ är abskissan för konvergens av ${\displaystyle \zeta _{G}(s)} ,$ ​​och $\delta$ är något positivt tal, och holomorft i vissa grannskap av $\Re (s)=\alpha$ . Att använda en tauberisk teorem innebär detta

$\sum _{n\leq x}s_{n}(G)\sim x^{\alpha }\log ^{k}x$

för något reellt tal $\alpha$ och ett icke-negativt heltal $k$ .

Undergruppstillväxt och coset-representationer

Låt $G$ vara en grupp, $U$ en undergrupp till index $n$ . Sedan $G$ på uppsättningen av vänster cosets av $U$ i $G$ genom vänsterskiftning:

$g(hU)=(gh)U.$

På detta sätt inducerar $U$ en homomorfism av $G$ i den symmetriska gruppen på $G/U$ . $G$ verkar transitivt på $G/U$ och vice versa, givet en transitiv åtgärd av $G$ på

$\{1,\ldots ,n\},$

stabilisatorn för punkt 1 är en undergrupp av index $n$ i $G$ . Sedan uppsättningen

$\{2,\ldots ,n\}$

kan permuteras in

$(n-1)!$

sätt, finner vi att $s_{n}(G)$ är lika med antalet transitiva $G$ -åtgärder dividerat med $(n-1)!$ . Bland alla $G$ -åtgärder kan vi särskilja transitiva åtgärder genom ett sållningsargument , för att komma fram till följande formel

$s_{n}(G)={\frac {h_{n}(G)}{(n-1)!}}-\summa _{\nu =1}^{n-1}{ \frac {h_{n-\nu }(G)s_{\nu }(G)}{(n-\nu )!}},$

där $h_{n}(G)$ anger antalet homomorfismer

$\varphi :G\rightarrow S_{n}.$

I flera fall är funktionen $h_{n}(G)$ lättare att komma åt då ${\displaystyle s_{n}(G)} ,$ och om $h_{n}(G)$ växer tillräckligt stor, summan är av försumbar storleksordning, därför får man en asymptotisk formel för $) {\displaystyle s_{n}(G)$ .

Som ett exempel, låt $F_{2}$ vara den fria gruppen på två generatorer. Sedan sträcker sig varje karta över generatorerna av $F_{2}$ till en homomorfism

$F_{2}\rightarrow S_{n},$

det är

$h_{n}(F_{2})=(n!)^{2}.$

Av detta dra vi slutsatser

$s_{n}(F_{2})\sim n\cdot n!.$

För mer komplicerade exempel inbegriper uppskattningen av $displaystyle h_{n}(G)}$ \ representationsteorin och statistiska egenskaper för symmetriska grupper .