General Dirichlet-serien

Inom området matematisk analys är en generell Dirichlet-serie en oändlig serie som tar formen av

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},$

där $a_{n}$ , $s$ är komplexa tal och $\{\lambda _{n}\}$ är en strikt ökande sekvens av icke-negativa reella tal som tenderar till oändligheten.

En enkel observation visar att en "vanlig" Dirichlet-serie

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},$

erhålls genom att ersätta $\lambda _{n}=\ln n$ medan en potensserie

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(e^{-s})^{n},$

erhålls när $\lambda _{n}=n$ .

Grundläggande teorem

Om en Dirichlet-serie är konvergent vid ${\displaystyle s_{0}=\sigma _{0}+t_{0}i},$ så är den enhetligt konvergent i domänen

$|\arg(s-s_{0})|\leq \theta <{\frac {\pi }{2}},$

och konvergent för alla $s=\sigma +ti$ där $\sigma >\sigma _{0}$ .

Det finns nu tre möjligheter angående konvergensen av en Dirichlet-serie, dvs den kan konvergera för alla, för inga eller för vissa värden på s . I det senare fallet finns det en $\sigma _{c}$ så att serien är konvergent för $\sigma >\sigma _{c}$ och divergent för $\sigma <\sigma _{c}$ . Enligt konvention, $\sigma _{c}=\infty$ om serien inte konvergerar någonstans och $\sigma _{c}=-\infty$ om serien konvergerar överallt på det komplexa planet .

Abskissa av konvergens

Abskissan för konvergens för en Dirichlet-serie kan definieras som $\sigma _{c}$ ovan. En annan likvärdig definition är

$\sigma _{c}=\inf \left\{\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _ {n}s}{\text{ konvergerar för varje }}s{\text{ för vilka }}\operatörsnamn {Re} (s)>\sigma \right\}.$

Linjen $\sigma =\sigma _{c}$ kallas konvergenslinjen . Halvplanet för konvergens definieras som

$\mathbb {C} _{\sigma _{c}}=\{s\in \mathbb {C} :\operatörsnamn {Re} (s)>\sigma _{c}\}.$

Abskissan , linjen och halvplanet för konvergens av en Dirichlet - serie är analoga med radie , gräns och konvergensskiva för en potensserie .

På konvergenslinjen förblir frågan om konvergens öppen som i fallet med potensserier. Men om en Dirichlet-serie konvergerar och divergerar vid olika punkter på samma vertikala linje, måste denna linje vara konvergenslinjen. Beviset är implicit i definitionen av konvergensabscissa. Ett exempel skulle vara serien

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}e^{-ns},$

som konvergerar vid $s=-\pi i$ ( alternerande övertonsserier ) och divergerar vid $s=0$ ( övertonsserier ). Således $\sigma =0$ konvergenslinjen.

Antag att en Dirichlet-serie inte konvergerar vid $s=0$ , då är det tydligt att $\sigma _{c}\geq 0$ och $\sum a_ {n}$ avviker. Å andra sidan, om en Dirichlet-serie konvergerar vid $s=0$ , då $\sigma _{c}\leq 0$ och $\sum a_{n }$ konvergerar. Det finns alltså två formler för att beräkna $\sigma _{c}$ , beroende på konvergensen av $\sum a_{n}$ som kan bestämmas genom olika konvergenstester . Dessa formler liknar Cauchy-Hadamard-satsen för konvergensradien för en potensserie.

Om $\sum a_{k}$ är divergent, dvs ${\displaystyle \sigma _{c}\geq 0} ,$ så ges $\sigma _{c}$ förbi

$\sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}|}{\lambda _ {n}}}.$

Om $\sum a_{k}$ är konvergent, dvs $\sigma _{c}\leq 0$ , så ges $\sigma _{c}$ förbi

$\sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots |}{\lambda _{ n}}}.$

Abskissa av absolut konvergens

En Dirichlet-serie är absolut konvergent om serien

$\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}e^{-\lambda _{n}s}|,$

är konvergent. Som vanligt är en absolut konvergent Dirichlet-serie konvergent, men det omvända är inte alltid sant.

Om en Dirichlet-serie är absolut konvergent vid $s_{0}$ , så är den absolut konvergent för alla s där $\operatorname {Re} (s)> \operatörsnamn {Re} (s_{0})$ . En Dirichlet-serie kan konvergera absolut för alla, för inga eller för vissa värden på s . I det senare fallet finns det en $\sigma _{a}$ så att serien konvergerar absolut för $\sigma >\sigma _{a}$ och konvergerar icke-absolut för $\sigma <\sigma _{a}$ .

Abskissan för absolut konvergens kan definieras som $\sigma _{a}$ ovan, eller motsvarande som

${\begin{aligned}\sigma _{a}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n }e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ konvergerar absolut för}}\\&{\text{varje }}s{\text{ för vilken}}\operatörsnamn {Re} (s) >\sigma {\Big \}}.\end{aligned}}$

Linjen och halvplanet för absolut konvergens kan definieras på liknande sätt. Det finns också två formler för att beräkna $\sigma _{a}$ .

Om $\sum |a_{k}|$ är divergent, då ges ${\displaystyle \sigma _{a}} av$

$\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}| )}{\lambda _{n}}}.$

Om $\sum |a_{k}|$ är konvergent, då ges ${\displaystyle \sigma _{a}} av$

$\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots )}{ \lambda _{n}}}.$

I allmänhet sammanfaller inte konvergensens abskiss med abskissan för absolut konvergens. Således kan det finnas en remsa mellan konvergenslinjen och absolut konvergens där en Dirichlet-serie är villkorligt konvergent . Bredden på denna remsa ges av

$0\leq \sigma _{a}-\sigma _{c}\leq L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log n}{\lambda _{n}} }.$

I fallet där L = 0, då

$\sigma _{c}=\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n}|}{\lambda _{n}}}.$

Alla formler som tillhandahållits hittills gäller fortfarande för 'vanliga' Dirichlet-serier genom att ersätta $\lambda _{n}=\log n$ .

Andra abskissar av konvergens

Det är möjligt att överväga andra abskissar av konvergens för en Dirichlet-serie. Abskissan för begränsad konvergens $\sigma _{b}$ ges av

${\begin{aligned}\sigma _{ b}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s} &{\text{ är avgränsad i halvplanet }}\operatörsnamn {Re} (s)\geq \sigma {\Big \}},\end{aligned}}$

medan abskissan för enhetlig konvergens $\sigma _{u}$ ges av

${\begin{aligned}\sigma _{u}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R} :\summa _{n=1}^{\infty }a_{n }e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ konvergerar enhetligt i halvplanet }}\operatörsnamn {Re} (s)\geq \sigma {\Big \}}.\end{aligned }}$

Dessa abskissor är relaterade till abskissan för konvergens $\sigma _{c}$ och av absolut konvergens $\sigma _{a}$ med formlerna

$\sigma _{c}\leq \sigma _{b}\leq \sigma _{u}\leq \sigma _{a}$ ,

och en anmärkningsvärd sats från Bohr visar faktiskt att för alla vanliga Dirichlet-serier där $\lambda _{n}=\ln(n)$ (dvs. Dirichlet-serier av formen ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}} ), σ u =$ σ $sigma _{b}$$sigma _{u} =$$\sigma _{a}\leq \sigma _{u}+1/2;$ och Bohnenblust och Hille visade sedan att för varje tal $d\in [0,0.5]$ det finns Dirichlet-serier $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}$ för vilka $\sigma _{a}-\sigma _{u}=d.$

En formel för abskissan för enhetlig konvergens $\sigma _{u}$ för den allmänna Dirichlet-serien $\sum _{n=1}^{ \infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}$ ges enligt följande: för alla $N\geq 1$ , låt $U_{N}=\sup _{t\in \mathbb {R} }\{|\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{it\lambda _{n }}|\}$ , då $\sigma _{u}=\lim _{N\högerpil \infty }{\frac {\log U_{N}}{\lambda _{N}}}.$

Analytiska funktioner

En funktion representerad av en Dirichlet-serie

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _ {n}s},$

är analytisk på konvergensens halva plan. Dessutom, för $k=1,2,3,\ldots$

$f^{(k)}(s)=(-1)^{k}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\lambda _{n}^{k}e ^{-\lambda _{n}s}.$

Ytterligare generaliseringar

En Dirichlet-serie kan ytterligare generaliseras till flervariabelfallet där ${\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {R} ^{k}} ,$ k = 2, 3, 4,. .., eller komplext variabelfall där $\lambda _{n}\in \mathbb {C} ^{m}$ , m = 1, 2, 3,...

• GH Hardy och M. Riesz, The general theory of Dirichlet's series , Cambridge University Press, första upplagan, 1915.
• EC Titchmarsh , Theory of functions , Oxford University Press, andra upplagan, 1939.
• Tom Apostol , Modular functions and Dirichlet series in number theory , Springer, andra upplagan, 1990.
• AF Leont'ev, Hela funktioner och serie av exponentialer (på ryska), Nauka, första upplagan, 1982.
• AI Markushevich, Theory of functions of a complex variables (översatt från ryska), Chelsea Publishing Company, andra upplagan, 1977.
• J.-P. Serre , A Course in Arithmetic , Springer-Verlag, femte upplagan, 1973.
• John E. McCarthy, Dirichlet-serien , 2018.
• HF Bohnenblust och Einar Hille, On the Absolute Convergence of Dirichlet Series , Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 32, nr 3 (jul. 1931), sid. 600-622.

externa länkar

• "Dirichlet-serien" . PlanetMath .
• "Dirichlet series" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]