Väl ställt problem

Den matematiska termen välpositionerat problem härrör från en definition som gavs av den franske matematikern Jacques Hadamard från 1900-talet . Han trodde att matematiska modeller av fysiska fenomen borde ha egenskaperna som:

det finns en lösning ,
lösningen är unik ,
lösningens beteende förändras kontinuerligt med de initiala förhållandena .

Exempel på arketypiska välpositionerade problem inkluderar Dirichlet-problemet för Laplaces ekvation och värmeekvationen med specificerade initiala förhållanden. Dessa kan betraktas som "naturliga" problem genom att det finns fysiska processer som modelleras av dessa problem.

Problem som inte är väl ställda i Hadamards mening kallas illa ställda . Omvända problem är ofta illa ställda. Till exempel är den omvända värmeekvationen, som härleder en tidigare fördelning av temperatur från slutliga data, inte välpositionerad eftersom lösningen är mycket känslig för ändringar i slutdata.

Kontinuummodeller måste ofta diskretiseras för att få en numerisk lösning. Även om lösningar kan vara kontinuerliga med avseende på de initiala förhållandena, kan de lida av numerisk instabilitet när de löses med ändlig precision eller med fel i data. Även om ett problem är välformulerat kan det fortfarande vara dåligt konditionerat , vilket innebär att ett litet fel i den initiala informationen kan resultera i mycket större fel i svaren. Problem i icke-linjära komplexa system (så kallade kaotiska system) ger välkända exempel på instabilitet. Ett dåligt konditionerat problem indikeras av ett stort tillståndstal .

Om problemet är välplacerat har det en god chans att lösas på en dator som använder en stabil algoritm . Om den inte är välpositionerad måste den omformuleras för numerisk behandling. Vanligtvis inbegriper detta ytterligare antaganden, såsom jämnhet i lösningen. Denna process är känd som regularisering . Tikhonov-regularisering är en av de vanligaste för regularisering av linjära illa ställda problem.

Energimetod

En metod för att avgöra hur väl ett problem är är energimetoden. Metoden bygger på att härleda en energiuppskattning för ett givet problem.

Exempel : Betrakta den linjära advektionsekvationen med homogena Dirichlet-gränsvillkor och lämpliga initiala data $f(x)$ .

${\begin{ fall}u_{t}+\alpha u_{x}=0,0<x<1,\alpha >0,\\u(x,0)=f(x),\\u(0,t)= 0,\\u(1,t)=0,\\\end{cases}}$

Genom att sedan utföra energimetoden för detta problem, skulle man multiplicera ekvationen med $u$ och integrera i rymden över det givna intervallet.

$\partial _{t}\int _{0}^{1}{\frac {1}{2}}u^{2}dx=-\alpha \int _{0}^{1 }uu_{x}dx\Rightarrow {\frac {1}{2}}\partial _{t}\|u\|_{2}^{2}=-\alpha {\frac {u^{2} }{2}}{\Big |}_{0}^{1}=0$

Då skulle man integrera i tiden och man skulle få energiuppskattningen

$\|u(\cdot ,t)\|_{2}\leq \|f(\cdot )\|_{2}$ ( p-norm )

Från denna energiuppskattning kan man dra slutsatsen att problemet är välbelagt.

Se även

Totalabsorptionsspektroskopi – ett exempel på ett omvänt problem eller illa ställt problem i en verklig situation som löses med hjälp av förväntan- maximeringsalgoritmen

Hadamard, Jacques (1902). Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique . Princeton University Bulletin . s. 49–52.
Parker, Sybil B., red. (1989) [1974]. McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms (4:e upplagan). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-045270-9 .
Tikhonov, AN; Arsenin, VY (1977). Lösningar på illa ställda problem . New York: Winston. ISBN 0-470-99124-0 .