Thomas funktion

Punktdiagram på intervallet (0,1). Den översta punkten i mitten visar f (1/2) = 1/2

Thomaes funktion är en reellt värderad funktion av en reell variabel som kan definieras som:

$$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&{\text{if }}x={\tfrac {p}{q}}\quad (x{\ text{ är rationell), med }}p\in \mathbb {Z} {\text{ och }}q\in \mathbb {N} {\text{ coprime}}\\0&{\text{if }}x {\text{ är irrationell.}}\end{cases}}$$

Den är uppkallad efter Carl Johannes Thomae , men har många andra namn: popcornfunktionen , regndroppsfunktionen , den räknebara molnfunktionen , den modifierade Dirichletfunktionen , linjalfunktionen , Riemannfunktionen eller Stjärnorna över Babylon ( John Horton Conway ' s namn). Thomae nämnde det som ett exempel på en integrerbar funktion med oändligt många diskontinuiteter i en tidig lärobok om Riemanns begrepp om integration.

Eftersom varje rationellt tal har en unik representation med samprimtal (även kallat relativt primtal) $p\in \mathbb {Z}$ och $q\in \mathbb {N}$ , funktionen är väldefinierad . Observera att $q=+1$ är det enda talet i $\mathbb {N}$ som är coprime till $p=0.$

Det är en modifiering av Dirichlet-funktionen , som är 1 vid rationella tal och 0 på andra ställen.

Egenskaper

• Thomaes funktion $f$ är avgränsad och mappar alla reella tal till enhetsintervallet : $\;f:\mathbb {R} \;\to \;[0,\;1].$
• $f$ är periodisk med period $1:\;f(x+n)=f(x)$ för alla heltal n och alla reella x .

  Bevis på periodicitet

  För alla $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,$ har vi också $x+n\i \mathbb {R } \setminus \mathbb {Q}$ och därmed $f(x+n)=f(x)=0,$ För alla $x\in \mathbb {Q} ,\;$ finns det $p\in \mathbb {Z}$ och $q\in \mathbb {N}$ så att $\;x=p/q,\;$ och $\gcd(p,\;q)=1 .$ Betrakta $x+n=(p+nq)/q$ . Om $d$ delar $p$ och $q$ , delar den $p+nq$ och $q$ . Omvänt, om $d$ delar $p+nq$ och $q$ , delar den $(p+nq) -nq=p$ och $q$ . Så $\gcd(p+nq,q)=\gcd(p,q)=1$ och $f(x+n)=1/q=f(x)$ .

• $f$ är diskontinuerlig vid alla rationella tal, tätt inom de reella talen.

  Bevis på diskontinuitet vid rationella tal

  Låt $x_{0}=p/q$ vara ett godtyckligt rationellt tal, med $\;p\in \mathbb {Z} ,\;q \in \mathbb {N} ,$ och $p$ och $q$ coprime. Detta fastställer $f(x_{0})=1/q.$ Låt $\;\alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \;$ vara vilket irrationellt tal som helst och definiera $x_{n} =x_{0}+{\frac {\alpha }{n}}$ för alla $n\in \mathbb {N} .$ Dessa $x_{n}$ är alla irrationella, så $f(x_{n})=0$ för alla $n\in \mathbb {N} .$ Detta innebär $|x_{0}-x_{n}|={\frac {\alpha }{n}},$ och $|f(x_{0})-f(x_{n})|={\frac {1}{q}}.$ Låt $\;\varepsilon =1/q\;$ , och givet $\delta >0$ låt ${\displaystyle n=1+\left\lceil {\frac {\alpha }{\delta }}\right\rceil .} För motsvarande$ x $\displaystyle \;x_{n}}$ har vi $$|f(x_{0})-f(x_{n})|=1/q\geq \varepsilon$$ och $$|x_{0}-x_{n}|={\frac {\alpha }{n}}={\frac {\alpha }{1+\left\lceil {\frac {\alpha }{\delta }}\right\rceil }}<{\frac {\alpha }{\left\lceil {\frac {\alpha }{ \delta }}\right\rceil }}\leq \delta ,$$ vilket är exakt definitionen av diskontinuitet för $f$ vid $x_{0}$ .

• $f$ är kontinuerlig vid alla irrationella tal , även tätt inom de reella talen.

  Bevis på kontinuitet vid irrationella argument

  Eftersom $f$ är periodisk med period $1$ och $0\in \mathbb {Q} ,$$I=(0,\;1).\;$ det att kontrollera alla irrationella punkter i Antag nu $\varepsilon >0,\;i\in \mathbb {N}$ och $x_{0}\in I\setminus \mathbb {Q} .$ Enligt den arkimediska egenskapen hos realerna finns det $r\in \mathbb {N}$ med $1/r<\varepsilon ,$ och det finns $\;k_{i}\in \mathbb {N} ,$ så att för $i=1,\ldots ,r$ har vi $0<{\frac {k_{i}}{i}}<x_{0}<{\frac {k_{i}+1}{i}}.$ Det minsta avståndet för $x_{0}$ till dess i -te nedre och övre gräns är lika med $$d_{i}:=\min \left\{\left|x_{0}-{\frac {k_{i}}{i}}\right|,\;\left|x_{0}- {\frac {k_{i}+1}{i}}\right|\right\}.$$ Vi definierar $\delta$ som minimum av alla ändligt många $d_{i}.$ $$\delta :=\min _{1\leq i\leq r}\{d_{i}\},\;$$ så att för alla $i=1,\dots ,r,$$|x_{0}-k_{i}/i|\geq \delta$ och $|x_{0}-(k_{i}+1)/i|\geq \delta .$ Det vill säga, alla dessa rationella tal $k_{i}/i,\;(k_{i}+1)/i,\;$ är utanför $\delta$ -grannskapet till $x_{0}.$ Låt nu $x\in \mathbb {Q} \cap (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )$ med den unika representationen $x=p/q$ där $p,q\in \mathbb {N}$ är coprime. Sedan, nödvändigtvis, $q>r,\;$ och därför, $$f(x)=1/q<1/r<\varepsilon .$$ Likaså för alla irrationella $x\in I,\;f(x)=0=f(x_{0}),\;$ och därmed , om $\varepsilon >0$ ger valfritt val av (tillräckligt liten) $\delta >0$ $$|x-x_{0}|<\delta \implies |f(x_{0})-f(x)|=f(x)<\varepsilon .$$ Därför är $f$ kontinuerlig på $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} .$

• $f$ är ingenstans differentierbar .

  Bevis på att det inte går att skilja någonstans

  För rationella tal följer detta av icke-kontinuitet. För irrationella tal: För vilken sekvens av irrationella tal som helst $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ med $a_{n }\neq x_{0}$ för alla $n\in \mathbb {N} _{+}$ som konvergerar till den irrationella punkten $x_{0},\;$ den sekvens $(f(a_{n}))_{n=1}^{\infty }$ är identiskt $0,\;$ och så $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {f(a_{n})-f(x_{0})}{a_{n}-x_{0}} }\right|=0.$ Enligt Hurwitzs teorem finns det också en sekvens av rationella tal $(b_{n}) _{n=1}^{\infty }=(k_{n}/n)_{n=1}^{\infty },\;} konvergerande till x , {\displaystyle x_{0$ , $}$ med $k_{n}\in \mathbb {Z}$ och $n\in \mathbb {N}$ coprime och ${\displaystyle |k_{n}/n-x_{0}|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\cdot n^{2}}}.\;} Alltså$ för alla ${ \displaystyle n,}$$\left|{\frac {f(b_{n})-f(x_{0})}{b_{n}- x_{0}}}\right|>{\frac {1/n-0}{1/({\sqrt {5}}\cdot n^{2})}}={\sqrt {5}}\ cdot n\neq 0\;$ och så $f$ är inte alls differentierbar irrationell $x_{0}.$

• $f$ har ett strikt lokalt maximum vid varje rationellt tal. Se bevisen för kontinuitet och diskontinuitet ovan för konstruktion av lämpliga stadsdelar , där $f$ har maxima.
• $f$ är Riemann-integrerbar på vilket intervall som helst och integralen utvärderas till $0$ över vilken uppsättning som helst. Lebesgue- kriteriet för integrerbarhet säger att en begränsad funktion är Riemann-integrerbar om och endast om mängden av alla diskontinuiteter har måttet noll . Varje räknebar delmängd av de reella talen - såsom de rationella talen - har måttet noll, så diskussionen ovan visar att Thomaes funktion är Riemann-integrerbar på vilket intervall som helst. Funktionens integral är lika med $0$ över valfri uppsättning eftersom funktionen är lika med noll nästan överallt .
• Om $G=\{\,(x,f(x)):x\in (0,1)\ ,\}\subset \mathbb {R} ^{2}$ är grafen för begränsningen av $f$ till $\displaystyle (0,1)}$ , sedan den rutorräknande dimensionen för $G$ är $\displaystyle 4/3$ .

Relaterade sannolikhetsfördelningar

Empiriska sannolikhetsfördelningar relaterade till Thomaes funktion visas i DNA-sekvensering . Det mänskliga genomet är diploid , med två strängar per kromosom. Vid sekvensering genereras små bitar ("reads"): för varje fläck på genomet överlappar ett heltal av läsningar det. Deras förhållande är ett rationellt tal, och vanligtvis fördelat på samma sätt som Thomaes funktion.

Om par av positiva heltal $m,n$ samplas från en fördelning $f(n,m)$ och används för att generera förhållanden $q=n/(n+m)$ , detta ger upphov till en fördelning $g(q)$ på de rationella talen. Om heltalen är oberoende kan fördelningen ses som en faltning över de rationella talen, ${\textstyle g(a ) /(a+b))=\summa _{t=1}^{\infty }f(ta)f(tb)}$ . Lösningar i sluten form finns för kraftlagsfördelningar med avstängning. Om $f(k)=k^{-\alpha }e^{-\beta k}/\mathrm {Li } _{\alpha }(e^{-\beta })$ (där $\mathrm {Li} _{\alpha }$ är polylogaritmfunktionen ) sedan $g(a/(a+b))=(ab)^ {-\alpha }\mathrm {Li} _{2\alpha }(e^{-(a+b)\beta})/\mathrm {Li} _{\alpha }^{2}(e^{- \beta })$ . I fallet med enhetliga fördelningar på mängden $\{1,2,\ldots ,L\}$${\displaystyle g(a/(a+b))=(1/L^{2})\lgolv L/\max(a,b)\rgolv } ,$ som är mycket lik Thomaes funktion.

Linjalfunktionen

Huvudartikel: Linjalfunktion

För heltal ger exponenten för den högsta potensen 2 som dividerar $n$ 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, . .. (sekvens A007814 i OEIS ). Om 1 läggs till, eller om nollorna tas bort, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, ... (sekvens A001511 i OEIS ). Värdena liknar bockmarkeringar på en 1/16: e graderad linjal , därav namnet. Dessa värden motsvarar begränsningen av Thomae-funktionen till de dyadiska rationalerna : de rationella tal vars nämnare är potenser av 2.

Relaterade funktioner

En naturlig följdfråga man kan ställa är om det finns en funktion som är kontinuerlig på de rationella talen och diskontinuerlig på de irrationella talen. Detta visar sig vara omöjligt. Mängden diskontinuiteter för en funktion måste vara en F _σ- mängd . Om en sådan funktion existerade, skulle irrationalerna vara en F _σ -mängd. De irrationella skulle då vara den räknebara unionen av slutna mängder ${\textstyle \bigcup _{i=0}^{\infty }C_{i}} ,$ men eftersom irrationalerna inte innehåller ett intervall, varken kan någon av $C_{i}$ . Därför skulle var och en av $C_{i}$ inte vara tät, och irrationalerna skulle vara en mager mängd . Det skulle följa att de reella talen, som är föreningen av de irrationella och de rationella (som, som en räknebar mängd, uppenbarligen är mager), också skulle vara en mager mängd. Detta skulle motsäga Baire-kategorisatsen : eftersom realerna bildar ett komplett metriskt utrymme , bildar de ett Baire-utrymme , som inte kan vara magert i sig.

En variant av Thomaes funktion kan användas för att visa att vilken F _σ- delmängd som helst av de reella talen kan vara uppsättningen av diskontinuiteter för en funktion. Om ${\textstyle A=\bigcup _{n=1}^{\infty }F_{n}}$ är en räknebar förening av slutna mängder $F_{n}$ , definiera

$$f_{A }(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{if }}x{\text{ är rationell och }}n{\text{ är minimal så att }} x\in F_{n}\\-{\frac {1}{n}}&{\text{if }}x{\text{ är irrationell och }}n{\text{ är minimal så att }}x \i F_{n}\\0&{\text{if }}x\noti A\end{case}}$$

Sedan visar ett liknande argument som för Thomaes funktion att $f_{A}$ har A som sin uppsättning diskontinuiteter.

Se även

• Blumbergs teorem
• Kantorfunktion
• Dirichlet funktion
• Euklides fruktträdgård – Thomaes funktion kan tolkas som en perspektivritning av Euklides fruktträdgård
• Volterras funktion

•   Abbott, Stephen (2016), Understanding Analysis (mjukt omslag av den ursprungliga 2:a upplagan), New York: Springer , ISBN 978-1-4939-5026-3
•   Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (1999), Introduction to Real Analysis (3:e upplagan), Wiley, ISBN 978-0-471-32148-4 (Exempel 5.1.6 (h))

externa länkar

• "Dirichlet-function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Dirichlet-funktion" . MathWorld .