Orienteringsförveckling

En enda punkt i rymden kan snurra kontinuerligt utan att bli trasslig. Lägg märke till att efter en 360 graders rotation vänder spiralen mellan medurs och moturs orientering. Den återgår till sin ursprungliga konfiguration efter att ha snurrat hela 720 grader.

Inom matematik och fysik används ibland begreppet orienteringsförveckling för att utveckla intuition som relaterar till spinorernas geometri eller alternativt som en konkret insikt om misslyckandet hos de speciella ortogonala grupperna att helt enkelt kopplas samman .

Elementär beskrivning

Enbart rumsliga vektorer är inte tillräckliga för att fullständigt beskriva egenskaperna hos rotationer i rymden.

En uppsättning av 96 fibrer är förankrade både till omgivningen i ena änden och en roterande sfär i den andra. Sfären kan rotera kontinuerligt utan att fibrerna trasslar ihop sig.

En kaffekopp med band fästa på handtaget och motsatt sida.

Betrakta följande exempel. En kaffekopp är upphängd i ett rum med ett par elastiska gummiband fästa på rummets väggar. Bägaren vrids av sitt handtag genom en full vridning av 360°, så att handtaget förs hela vägen runt koppens centrala vertikala axel och tillbaka till sitt ursprungliga läge.

Observera att efter denna rotation har koppen återställts till sin ursprungliga orientering, men att dess orientering i förhållande till väggarna är vriden . Med andra ord, om vi sänker kaffekoppen till golvet i rummet kommer de två banden att rullas runt varandra i en hel vridning av en dubbelspiral . Detta är ett exempel på orienteringsinblandning : den nya orienteringen av kaffekoppen inbäddad i rummet är faktiskt inte densamma som den gamla orienteringen, vilket framgår av gummibandens vridning. Uttryckt på ett annat sätt har kaffekoppens orientering blivit intrasslad med orienteringen av de omgivande väggarna.

Kaffekopp vektor. Efter en hel rotation är vektorn oförändrad.

Det är uppenbart att geometrin för rumsliga vektorer enbart är otillräcklig för att uttrycka orienteringsintrasslingen (svridningen av gummibanden). Överväg att rita en vektor över koppen. En hel rotation kommer att flytta runt vektorn så att den nya orienteringen av vektorn är densamma som den gamla. Vektorn ensam vet inte att kaffekoppen är intrasslad med rummets väggar.

Faktum är att kaffekoppen är oupplösligt intrasslad. Det finns inget sätt att vrida upp banden utan att vrida koppen. Tänk dock på vad som händer istället när koppen roteras, inte genom bara ett 360° varv, utan två 360° varv för en total rotation på 720°. Om sedan koppen sänks till golvet, lindas de två gummibanden runt varandra i två hela vridningar av en dubbelspiral. Om koppen nu förs upp genom mitten av en spiral av denna spiral och förs över på dess andra sida, försvinner vridningen. Banden är inte längre lindade om varandra, även om ingen ytterligare rotation behövde utföras. (Detta experiment utförs lättare med ett band eller bälte. Se nedan.)

Att vrida upp ett band utan att rotera.

Sålunda, medan orienteringen av koppen vreds i förhållande till väggarna efter en rotation av endast 360°, vreds den inte längre efter en rotation av 720°. Genom att endast beakta vektorn som är fäst vid koppen är det dock omöjligt att skilja mellan dessa två fall. Det är först när vi fäster en spinor på koppen som vi kan skilja mellan det vridna och ovridna fodralet.

En spinor.

I denna situation är en spinor en sorts polariserad vektor. I det intilliggande diagrammet kan en spinor representeras som en vektor vars huvud är en flagga som ligger på ena sidan av en Möbiusremsa och pekar inåt. Anta först att flaggan är ovanpå remsan som visas. När kaffekoppen roteras bär den spinorn och dess flagga längs remsan. Om koppen roteras 360°, återgår spinorn till utgångsläget, men flaggan är nu under remsan och pekar utåt. Det krävs ytterligare en 360° rotation för att återställa flaggan till dess ursprungliga orientering.

En detaljerad brygga mellan ovanstående och den formella matematiken finns i artikeln om tangloider .

Formella detaljer

I tre dimensioner motsvarar problemet som illustreras ovan det faktum att Lie-gruppen SO(3) inte bara är kopplad . Matematiskt kan man tackla detta problem genom att visa upp den speciella enhetliga gruppen , SU(2) , som också är spingruppen i tre euklidiska dimensioner, som en dubbel täckning av SO(3). Om X = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) är en vektor i R ³ , då identifierar vi X med 2 × 2-matrisen med komplexa poster

$X=\left({\begin{matrix}x_{1}&x_{2}-ix_{3}\\ x_{2}+ix_{3}&-x_{1}\end{matrix}}\right)$

Observera att −det( X ) ger kvadraten på den euklidiska längden av X betraktad som en vektor, och att X är en spårfri , eller bättre, spår-noll hermitisk matris .

Enhetsgruppen agerar på X via

$X\mapsto MXM^{\dolk }$

där M ∈ SU(2). Observera att eftersom M är enhetligt,

$\det \left(MXM^{\dagger }\right)=\det(X)$ och

$MXM^{\dolk }$ är spår-noll Hermitian.

Därför verkar SU(2) via rotation på vektorerna X . Omvänt, eftersom varje förändring av basen som skickar hermitiska matriser med spår-noll till hermitiska matriser med spår-noll måste vara enhetliga, följer det att varje rotation också lyfts till SU(2). Varje rotation erhålls dock från ett par av element M och − M i SU(2). Följaktligen är SU(2) en dubbeltäckning av SO(3). Dessutom ses SU(2) lätt att vara sig själv helt enkelt ansluten genom att realisera den som gruppen av enhetskvaternioner, ett rymdhomeomorft till 3 -sfären .

En enhetskvarternion har cosinus för halva rotationsvinkeln som sin skalära del och sinus för halva rotationsvinkeln multiplicerar en enhetsvektor längs någon rotationsaxel (här antas fixerad) som sin pseudovektor (eller axialvektor) del. Om den initiala orienteringen av en styv kropp (med otrasslade kopplingar till dess fasta omgivning) identifieras med en enhetskvarternion som har en noll pseudovektordel och +1 för den skalära delen, så återgår pseudovektordelen efter en fullständig rotation (2π rad) till noll och den skalära delen har blivit −1 (trasslad). Efter två fullständiga rotationer (4π rad) återgår pseudovektordelen igen till noll och den skalära delen återgår till +1 (otrasslad), vilket fullbordar cykeln.

Se även

• Tallrikstrick
• Tangloider

Anteckningar

• Feynman, Leighton, Sands. Feynman-föreläsningarna om fysik . 3 volymer 1964, 1966. Library of Congress Catalog Card No. 63-20717

  •   ISBN 0-201-02115-3 (1970 pocketbok i tre volymer)
  •   ISBN 0-201-50064-7 (1989 års inbunden trevolymsuppsättning)
  •   ISBN 0-8053-9045-6 (2006 den definitiva upplagan (2:a upplagan); inbunden)

externa länkar

• Animation av Dirac-bälte-tricket med två bälten fästa på ett (fyrkantigt) objekt, som visar orienteringsintrassling efter ett varv och brist på intrassling efter två varv. Animationen visar alltså också att bältade föremål beter sig som spin 1/2 partiklar.
• Air on the Dirac Strings, som visar orienteringsintrassling med flera bälten fästa vid en sfärisk partikel, av Louis Kauffman och kollegor