kongruens (allmän relativitetsteori)

I allmän relativitetsteori är en kongruens (mer korrekt, en kongruens av kurvor ) uppsättningen av integralkurvor av ett (ingenstans försvinnande) vektorfält i ett fyrdimensionellt Lorentziskt grenrör som tolkas fysiskt som en modell av rumtid . Ofta kommer denna mångfald att anses vara en exakt eller ungefärlig lösning på Einsteins fältekvation .

Typer av kongruenser

Kongruenser som genereras av att ingenstans försvinner tidsliknande, noll eller rymdliknande vektorfält kallas timelike , null eller spacelike respektive.

En kongruens kallas en geodesisk kongruens om den tillåter ett tangentvektorfält ${\vec {X}}$ med försvinnande kovariansderivata , $\nabla _{\vec {X} }{\vec {X}}=0$ .

Relation med vektorfält

Vektorfältets integralkurvor är en familj av icke-korsande parametriserade kurvor som fyller upp rymdtiden. Kongruensen består av själva kurvorna, utan hänvisning till en viss parametrering. Många distinkta vektorfält kan ge upphov till samma kongruens av kurvor, eftersom om $f$ är en ingenstans försvinnande skalär funktion, då ${\vec {X}}$ och ${\vec {Y}}=\,f\,{\vec {X}}$ ger upphov till samma kongruens.

Men i en Lorentzian-manifold har vi en metrisk tensor , som väljer ut ett föredraget vektorfält bland vektorfälten som överallt är parallella med ett givet tidsliknande eller rumsliknande vektorfält, nämligen fältet för tangentvektorer till kurvorna. Dessa är tidsliknande respektive rymdliknande enhetsvektorfält .

Fysisk tolkning

I allmän relativitetsteori kan en tidsliknande kongruens i ett fyrdimensionellt Lorentziskt mångfald tolkas som en familj av världslinjer av vissa ideala observatörer i vår rumtid. I synnerhet kan en tidsliknande geodetisk kongruens tolkas som en familj av fritt fallande testpartiklar .

Nollkongruenser är också viktiga, särskilt noll geodetiska kongruenser , som kan tolkas som en familj av fritt spridande ljusstrålar.

Varning: världslinjen för en ljuspuls som rör sig i en fiberoptisk kabel skulle i allmänhet inte vara en noll geodetisk, och ljuset i det mycket tidiga universum (den strålningsdominerade epok) spred sig inte fritt. Världslinjen för en radarpuls som skickas från jorden förbi solen till Venus skulle dock modelleras som en noll geodetisk båge. I andra dimensioner än fyra gäller inte längre förhållandet mellan nollgeodesik och "ljus": Om "ljus" definieras som lösningen till den laplaciska vågekvationen , så har propagatorn både noll- och tidsliknande komponenter i udda rum-tid dimensioner, och är inte längre en ren Dirac deltafunktion i jämna rum-tidsdimensioner större än fyra.

Kinematisk beskrivning

Att beskriva den ömsesidiga rörelsen av testpartiklarna i en noll geodetisk kongruens i en rymdtid som Schwarzschild-vakuum eller FRW-damm är ett mycket viktigt problem i allmän relativitetsteori. Det löses genom att definiera vissa kinematiska storheter som fullständigt beskriver hur integralkurvorna i en kongruens kan konvergera (divergera) eller vrida sig kring varandra.

Det bör betonas att den kinematiska sönderdelningen vi ska beskriva är ren matematik som är giltig för alla Lorentziska mångfald. Den fysiska tolkningen i termer av testpartiklar och tidvattenaccelerationer (för tidsliknande geodetiska kongruenser) eller pennor av ljusstrålar (för noll geodetiska kongruenser) är giltig endast för allmän relativitet (liknande tolkningar kan vara giltiga i närbesläktade teorier).

Den kinematiska nedbrytningen av en tidsliknande kongruens

Betrakta den tidsliknande kongruensen som genereras av något tidsliknande enhetsvektorfält X , som vi bör tänka på som en första ordningens linjär partiell differentialoperator. Sedan är komponenterna i vårt vektorfält nu skalära funktioner som ges i tensornotation genom att skriva ${\vec {X}}f=f_{,a}\,X^{a}$ , där f är en godtycklig jämn funktion. Accelerationsvektorn är den kovarianta derivatan $\nabla _{\vec {X}}{\vec {X}$ } ; vi kan skriva dess komponenter i tensornotation som

${\dot {X}}^{a}={X^{a}}_{;b}X^{b}$

Lägg sedan märke till att ekvationen

$\left({\dot {X}}^{a}\,X_{b}+{X^{a}}_{;b}\right)\,X ^{b}={X^{a}}_{;b}\,X^{b}-{\dot {X}}^{a}=0$

betyder att termen inom parentes till vänster är den tvärgående delen av ${X^{a}}_{;b}$ . Denna ortogonalitetsrelation gäller endast när X är en tidsliknande enhetsvektor för en Lorentzian Manifold. Det håller inte i mer allmän miljö. Skriva

$h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}$

för projektionstensorn som projicerar tensorer i deras tvärgående delar; till exempel är den tvärgående delen av en vektor delen ortogonal mot ${\vec {X}}$ . Denna tensor kan ses som den metriska tensorn för hyperytan vars tangentvektorer är ortogonala mot X. Vi har alltså visat att

${\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_ {b}X_{m;n}$

Därefter sönderdelar vi detta i dess symmetriska och antisymmetriska delar,

${\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}=\theta _{ab}+\omega _{ab}$

Här,

$(m;n)}}$

${\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b} X_$

$\omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}$

är kända som expansionstensor respektive vorticitetstensor .

Eftersom dessa tensorer lever i de rumsliga hyperplanelementen ortogonala mot ${\vec {X}}$ , kan vi tänka på dem som tredimensionella andrarangstensorer. Detta kan uttryckas mer rigoröst med begreppet Fermi Derivative . Därför kan vi dekomponera expansionstensorn till dess spårlösa del plus en spårdel . Vi har skrivit spåret som $\theta$

$\theta _{ab}=\sigma _{ab}+{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab }$

Eftersom vorticitetstensorn är antisymmetrisk, försvinner dess diagonala komponenter, så den är automatiskt spårlös (och vi kan ersätta den med en tredimensionell vektor , även om vi inte ska göra detta). Därför har vi nu

$X_{a;b}=\sigma _{ab}+\omega _{ab}+{\frac { 1}{3}}\,\theta \,h_{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}$

Detta är den önskade kinematiska nedbrytningen . I fallet med en tidsliknande geodetisk kongruens, försvinner den sista termen på samma sätt.

Expansionsskalären, skjuvtensor ( $\sigma _{ab}$ ) och virveltensor för en tidsliknande geodesisk kongruens har följande intuitiva betydelse:

1. expansionsskalären representerar den fraktionshastighet med vilken volymen av ett litet initialt sfäriskt moln av testpartiklar förändras med avseende på korrekt tid för partikeln i molnets mitt,
2. skjuvtensorn representerar varje tendens hos den initiala sfären att förvrängas till en ellipsoidform,
3. virveltensorn representerar varje tendens hos den initiala sfären att rotera; virveln försvinner om och bara om världslinjerna i kongruensen överallt är ortogonala mot de rumsliga hyperytorna i någon foliation av rumtiden, i vilket fall, för ett lämpligt koordinatdiagram, varje hyperskiva kan betraktas som en yta av 'konstant tid' .

Se citaten och länkarna nedan för motivering av dessa påståenden.

Krökning och tidsliknande kongruenser

Med Ricci-identiteten (som ofta används som definition av Riemann-tensoren ) kan vi skriva

$X_{a;bn}-X_{a;nb}=R_{ambn}\,X^{m}$

Genom att plugga in den kinematiska nedbrytningen i den vänstra sidan kan vi etablera relationer mellan krökningstensorn och det kinematiska beteendet av tidsliknande kongruenser (geodesiska eller inte). Dessa relationer kan användas på två sätt, båda mycket viktiga:

1. vi kan (i princip) experimentellt bestämma krökningstensorn för en rumtid från detaljerade observationer av det kinematiska beteendet för vilken tidsliknande kongruens som helst (geodesisk eller inte),
2. vi kan erhålla evolutionsekvationer för delarna av den kinematiska nedbrytningen (expansionskalär, skjuvtensor och virveltensor ) som uppvisar direkt krökningskoppling .

I den berömda sloganen av John Archibald Wheeler ,

Rymdtiden talar om hur man rör sig; materia talar om för rumtiden hur den ska kurva sig.

Vi ser nu hur man exakt kvantifierar den första delen av detta påstående; Einsteins fältekvation kvantifierar den andra delen.

I synnerhet, enligt Bel-sönderdelningen av Riemann-tensorn, taget med hänsyn till vårt tidsliknande enhetsvektorfält, definieras den elektrogravitiska tensorn (eller tidvattentensorn ) av

$\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^ {n}}$

Ricci-identiteten ger nu

$\left(X_{a:bn}-X_{a:nb}\right)\,X^{ n}=E[{\vec {X}}]_{ab}$

Att plugga in den kinematiska nedbrytningen vi så småningom kan få

${\begin{aligned}E[{\vec {X}}]_{ab}&={\frac {2 }{3}}\,\theta \,\sigma _{ab}-\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}-\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\\&-{\frac {1}{3}}\left({\dot {\theta }}+{\frac {\theta ^{2}}{3}} \right)\,h_{ab}-{h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}\,\left({\dot {\sigma}}_{mn }-{\dot {X}}_{(m;n)}\right)-{\dot {X}}_{a}\,{\dot {X}}_{b}\\\end{ Justerat}}$

Här betecknar överpunkter differentiering med avseende på korrekt tid , räknat av längs vår tidsliknande kongruens (dvs vi tar den kovarianta derivatan med avseende på vektorfältet X). Detta kan ses som en beskrivning av hur man kan bestämma tidvattentensorn från observationer av en enda tidsliknande kongruens.

Evolutionsekvationer

I det här avsnittet går vi över till problemet med att erhålla evolutionsekvationer (även kallade fortplantningsekvationer eller fortplantningsformler ).

Det är bekvämt att skriva accelerationsvektorn som ${\dot {X}}^{a}=W^{a}$ och även att ställa in

$J_{ab}=X_{a:b}={\frac {\theta } {3}}\,h_{ab}+\sigma _{ab}+\omega _{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}$

Nu från Ricci-identiteten för tidvattentensorn vi har

${\dot {J}}_{ab}=J_{an;b}\,X^{n}-E[{\vec {X}}] _{ab}$

Men

$\left(J_{an}\,X^{n}\right)_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+ J_{an}\,{X^{n}}_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+J_{am}\,{J^{m}}_{b}$

så vi har

${\dot {J}}_{ab}=-J_{am}\,{J^{m}}_{b}-{E[{\vec {X}}]}_{ab }+W_{a;b}$

Genom att plugga in definitionen av $J_{ab}$ och ta respektive diagonaldelen, den spårlösa symmetriska delen och den antisymmetriska delen av denna ekvation, får vi de önskade utvecklingsekvationerna för expansionsskalären, skjuvningen tensor och vorticitetstensor.

Tänk först på det enklare fallet när accelerationsvektorn försvinner. Sedan (med hänsyn till att projektionstensorn kan användas för att sänka index för rent rumsliga storheter), har vi

$J_{am}\,{J^{m}}_{b}={\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ab} +{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^ {m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m }}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)$

eller

${\dot {J}}_{ab}=-{\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ ab}-{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\ sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^ {m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}$

Med elementär linjär algebra är det lätt att verifiera att om $\Sigma ,\Omega$ är tredimensionella symmetriska respektive antisymmetriska linjära operatorer, då $\Sigma ^{2}+\ Omega ^{2}$ är symmetrisk medan $\Sigma \,\Omega +\Omega \,\Sigma$ är antisymmetrisk, så genom att sänka ett index blir motsvarande kombinationer inom parentes ovan symmetriska och antisymmetriska respektive. Att ta spåret ger därför Raychaudhuris ekvation (för tidsliknande geodetik):

${\dot {\theta }}=\omega ^{2}-\sigma ^{2}-{\frac { \theta ^{2}}{3}}-{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}$

Att ta den spårlösa symmetriska delen ger

${\dot {\sigma}}_{ab}=-{\frac {2\theta }{3}}\,\sigma _{ab}-\left(\sigma _{am }\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}} ]}_{ab}+{\frac {\sigma ^{2}-\omega ^{2}+{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}{3}} \,h_{ab}$

och att ta den antisymmetriska delen ger

${\dot {\omega }}_{ab}=-{\frac {2 \theta }{3}}\,\omega _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\ sigma ^{m}}_{b}\right)$

Här,

$\sigma ^{2}=\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;\omega ^{ 2}=\omega _{mn}\,\omega ^{mn}$

är kvadratiska invarianter som aldrig är negativa, så att $\sigma ,\omega$ är väldefinierade reella invarianter. Spår av tidvattentensor kan också skrivas

${E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m} \,X^{n}$

Det kallas ibland Raychaudhuri-skalären ; det behöver inte sägas att det försvinner på samma sätt i fallet med en vakuumlösning .

Se även

• kongruens (grenrör)
• expansion skalär
• expansionstensor
• skjuvtensor
• virveltensor
• Raychaudhuris ekvation

•   Poisson, Eric (2004). A Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black Hole Mechanics . Cambridge: Cambridge University Press. Bibcode : 2004rtmb.book.....P . ISBN 978-0-521-83091-1 . Se kapitel 2 för en utmärkt och detaljerad introduktion till geodetiska kongruenser. Poissons diskussion om noll geodetiska kongruenser är särskilt värdefull.
•   Carroll, Sean M. (2004). Rumtid och geometri: En introduktion till allmän relativitet . San Francisco: Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-8732-2 . Se appendix F för en bra elementär diskussion om geodetiska kongruenser. (Carrolls notation är något icke-standardiserad. )
•   Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Herlt, Eduard (2003). Exakta lösningar på Einsteins fältekvationer (2:a upplagan) . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46136-8 . Se kapitel 6 för en mycket detaljerad introduktion till tidsliknande och nollkongruenser.
•   Wald, Robert M. (1984). Allmän relativitet . Chicago: University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-87033-5 . Se avsnitt 9.2 för kinematik för tidsliknande geodetiska kongruenser.
•   Hawking, Stephen; Ellis, GFR (1973). Den storskaliga strukturen av rum-tid . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09906-6 . Se avsnitt 4.1 för kinematik för tidsliknande och nollkongruenser.
• Dasgupta, Anirvan; Nandan, Hemwati; Kar, Sayan (2009). "Kinematik för flöden på böjda, deformerbara medier". International Journal of Geometric Methods in Modern Physics . 6 (4): 645–666. arXiv : 0804.4089 . Bibcode : 2009IJGMM..06..645D . doi : 10.1142/S0219887809003746 . Se för en detaljerad introduktion till kinematik för geodetiska flöden på specifika, tvådimensionella krökta ytor (dvs. sfär, hyperboliskt utrymme och torus).