Kaustik (matematik)

För annan användning, se Caustic (disambiguation) .

Reflekterande kaustik som genereras från en cirkel och parallella strålar

I differentialgeometri är en kaustik hölje av strålar som antingen reflekteras eller bryts av ett grenrör . Det är relaterat till begreppet kaustik inom geometrisk optik . Strålens källa kan vara en punkt (kallad strålning) eller parallella strålar från en punkt i oändligheten, i vilket fall en riktningsvektor för strålarna måste anges.

Mer allmänt, särskilt när det tillämpas på symplektisk geometri och singularitetsteori , är en kaustik den kritiska värdeuppsättningen för en lagrangisk avbildning ( π ○ i ): L ↪ M ↠ B ; där i : L ↪ M är en lagrangisk nedsänkning av ett lagrangiskt undergrenrör L i ett symplektiskt grenrör M , och π : M ↠ B är en lagrangisk fibrer av det symplektiska grenröret M . Kaustiken är en delmängd av lagrangefibrationens basrum B.

Förklaring

Strålarna som bryts av en icke-plan yta bildar kaustik där många av dem korsar.

Koncentration av ljus, särskilt solljus , kan brinna. Ordet kaustisk kommer i själva verket från grekiskan καυστός, bränd, via latinets causticus , brinnande.

En vanlig situation där frätande ämnen är synliga är när ljus lyser på ett dricksglas. Glaset kastar en skugga, men producerar också ett böjt område av starkt ljus. Under idealiska omständigheter (inklusive perfekt parallella strålar, som från en punktkälla i oändligheten), kan en nefroidformad ljusfläck produceras. Porlande kaustik bildas vanligtvis när ljus lyser genom vågor på en vattenmassa.

En annan bekant kaustik är regnbågen . Spridning av ljus av regndroppar gör att olika våglängder av ljus bryts till bågar med olika radie, vilket skapar bågen.

Katakustisk

En katastrof är det reflekterande fallet.

Med en strålande är det utvecklingen av strålningens ortotom .

Det plana fallet med parallella källstrålar: anta att riktningsvektorn är $(a,b)$ och spegelkurvan är parametriserad som $(u(t),v(t))$ . Normalvektorn i en punkt är $(-v'(t),u'(t))$ ; reflektionen av riktningsvektorn är (normal behöver speciell normalisering)

$2{\mbox{proj}}_{n}dd={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d ={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{ 2}+u'^{2}}}$

Att ha komponenter av hittad reflekterad vektor behandla den som en tangent

$(xu)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(yv)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}) .$

Använd den enklaste kuvertformen

$F(x,y,t)=(xu)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(yv)(av'^{ 2}-2bu'v'-au'^{2})$

$=x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^ {2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')$

$F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'' )-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')$

$+b(u'v'^{2}+2uv'v''- u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u ''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')$

vilket kan vara oestetiskt, men $F=F_{t}=0$ ger ett linjärt system i $(x,y)$ och därför är det elementärt att få en parametrisering av katastrofen. Cramers regel skulle tjäna.

Exempel

Låt riktningsvektorn vara (0,1) och spegeln vara $(t,t^{2}).$ Sedan

          $u'=1$$u''=0$$v'=2t$$v''=2$$a=0$$b=1$

$F(x,y,t)=(xt)(1-4t^{2})+4t(yt^{2})=x( 1-4t^{2})+4ty-t$

$F_{t}(x,y,t)=-8tx+ 4y-1$

och $F=F_{t}=0$ har lösning $(0,1/4)$ ; dvs ljus som kommer in i en parabolisk spegel parallellt med dess axel reflekteras genom fokus.

Se även

• Klippt lokus (Riemann-grenrör)
• Sista geometriska uttalandet av Jacobi
• Nefroid frätande

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Caustic" . MathWorld .