Biracks och biqudles

Inom matematiken är biquandles och biracks set med binära operationer som generaliserar quandlar och rack . Biquandles tar, i teorin om virtuella knutar , den plats som quandles upptar i teorin om klassiska knutar . Biracks och rack har samma relation, medan en biquandle är en birack som uppfyller vissa ytterligare villkor.

Definitioner

Biquandles och biracks har två binära operationer på en mängd $X$ skriven $a^{b}$ och $a_{b}$ . Dessa uppfyller följande tre axiom:

1. $(a^{b})^{c_{b}}={a^{c}}^{b^{c}}$

2. ${a_{b}}_{c_{b}}={a_{c}}_{b^{c}}$

3. ${a_{b}}^{c_{b}}={a^{c}}_{b^{c}}$

Dessa identiteter dök upp 1992 i referens [FRS] där objektet kallades en art.

Den upphöjda och nedsänkta notationen är användbar här eftersom den undviker behovet av parenteser. Till exempel, om vi skriver $a*b$ för $a_{b}$ och $a\mathbin {**} b$ för $a^{b}$ så blir de tre axiomen ovan

1. $(a\mathbin {**} b)\mathbin {**} ( c*b)=(a\mathbin {**} c)\mathbin {**} (b\mathbin {**} c)$

2. $(a*b)*(c*b)=(a*c)*(b\ mathbin {**} c)$

3. $(a*b)\mathbin {**} (c*b)=(a \mathbin {**} c)*(b\mathbin {**} c)$

Om dessutom de två operationerna är inverterbara , det vill säga ges $a,b$ i mängden $X$ finns unika $x,y$ i mängden $\ displaystyle X}$ så att $x^{b}=a$ och $y_{b}=a$ sedan definierar uppsättningen $X$ tillsammans med de två operationerna en birack .

Till exempel, om $X$ , med operationen $a^{b}$ , är ett rack så är det en birack om vi definierar den andra operationen som identiteten , ${ \displaystyle a_{b}=a}$ .

För en birack kan funktionen $S:X^{2}\rightarrow X^{2}$ definieras av

$S(a,b_{a})=(b,a^{b}).\,$

Sedan

1. $S$ är en bijektion

2. $S_{1}S_{2}S_{1}=S_{2}S_{1}S_{2}\,$

${ \displaystyle S_{1}(a,b,c)=(S(a,b),c)}$ det andra villkoret är $S_{1}$ och $S_{2}$ definierade av och $S_ {2}(a,b,c)=(a,S(b,c))$ . Detta tillstånd är ibland känt som den mängdteoretiska Yang-Baxter- ekvationen.

För att se att 1. är sant, notera att $S'$ definieras av

$S'(b,a^{b})=(a,b_{a})\,$

är det omvända till

$S\,$

För att se att 2. är sant låt oss följa trippelns framsteg $(c,b_{c},a_{bc^{b}})$ under $S_{1}S_{2}S_{1}$ . Så

$(c,b_{c},a_{bc^{b}})\to (b,c^{b},a_{bc^{b}})\to (b,a_{b}, c^{ba_{b}})\to (a,b^{a},c^{ba_{b}}).$

Å andra sidan, $(c,b_{c},a_{bc^{b}})=( c,b_{c},a_{cb_{c}})$ . Dess framsteg under $S_{2}S_{1}S_{2}$ är

$(c,b_{c},a_{cb_{c}})\to (c,a_{c},{b_{c}}^{a_{c}})\to (a,c^ {a},{b_{c}}^{a_{c}})=(a,c^{a},{b^{a}}_{c^{a}})\to (a,b_ {a},c_{ab_{a}})=(a,b^{a},c^{ba_{b}}).$

Alla $S$ som uppfyller 1. 2. sägs vara en switch (föregångare till biquandles och biracks).

$S(a,b)=(b,a^{b})$ identiteten, vridningen $T(a,b)=(b,a)$ och där $a^{b}$ är driften av ett rack.

En switch kommer att definiera en birack om operationerna är inverterbara. Observera att identitetsomkopplaren inte gör detta.

Biqudles

En biquandle är en birack som uppfyller viss ytterligare struktur, som beskrivits av Nelson och Rische. Axiomen för en biquandle är "minimala" i den meningen att de är de svagaste restriktionerna som kan läggas på de två binära operationerna samtidigt som biquandlen för en virtuell knut görs invariant under Reidemeister-rörelser.

Vidare läsning

• [FJK] Roger Fenn, Mercedes Jordan-Santana, Louis Kauffman Biquandles och virtuella länkar , Topology and its Applications , 145 (2004) 157–175
• [FRS] Roger Fenn, Colin Rourke , Brian Sanderson An Introduction to Species and the Rack Space in Topics in Knot Theory (1992) , Kluwer 33–55
• [K] LH Kauffman, Virtual Knot Theory , European Journal of Combinatorics 20 (1999), 663–690.