Wirtinger presentation

Inom matematiken , särskilt inom gruppteorin , är en Wirtinger-presentation en finit presentation där relationerna har formen $wg_{i}w^{-1}=g_{j}$ där $w$ är ett ord i generatorerna, $\{g_{1},g_{2},\ldots ,g_{k}\}.$ Wilhelm Wirtinger observerade att komplementen av knutar i 3-rum har grundläggande grupper med presentationer av denna form.

Förberedelser och definition

En knut K är en inbäddning av ensfären Si i ^det tredimensionella rummet R3 ^. (Alternativt kan det omgivande utrymmet också anses vara tresfären S ³ , vilket inte gör någon skillnad för Wirtinger-presentationens syften.) Det öppna underutrymmet som är komplementet till knuten, ${ \displaystyle S^{3}\setminus K}$ är knutkomplementet. Dess grundgrupp $\pi _{1}(S^{3}\setminus K)$ är en invariant av knuten i den meningen att ekvivalenta knutar har isomorfa knutgrupper . Det är därför intressant att förstå denna grupp på ett tillgängligt sätt.

En Wirtinger-presentation härleds från en vanlig projektion av en orienterad knut . En sådan projektion kan avbildas som ett ändligt antal (orienterade) bågar i planet, åtskilda av projektionens korsningar. Grundgruppen genereras av slingor som slingrar sig runt varje båge. Varje korsning ger upphov till en viss relation mellan generatorerna motsvarande de bågar som möts vid korsningen.

Wirtinger presentationer av högdimensionella knutar

Mer allmänt är det känt att samdimensionera två knutar i sfärer har Wirtinger-presentationer. Michel Kervaire bevisade att en abstrakt grupp är den grundläggande gruppen av en knuts yttre (i en kanske högdimensionell sfär) om och bara om alla följande villkor är uppfyllda:

1. Beteckningen av gruppen är heltal .
2. Den andra homologin för gruppen är trivial.
3. Gruppen presenteras ändligt .
4. Gruppen är den normala stängningen av en enda generator.

Villkor (3) och (4) är i huvudsak Wirtingers presentationsvillkor, omräknat. Kervaire visade i dimensioner 5 och större att ovanstående villkor är nödvändiga och tillräckliga. Att karakterisera knutgrupper i dimension fyra är ett öppet problem.

Exempel

För trefoil-knuten kan en Wirtinger-presentation visas vara

$\pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\backslash {\text{trefoil}})=\langle x,y\mid yxy=xyx\rangle .$

Se även

• Knutgrupp

Vidare läsning

•   Rolfsen, Dale (1990), Knots and links , Mathematics Lecture Series, vol. 7, Houston, TX: Publicera eller fördärva, ISBN 978-0-914098-16-4 , avsnitt 3D
•   Kawauchi, Akio (1996), A survey of knot theory , Birkhäuser, doi : 10.1007/978-3-0348-9227-8 , ISBN 978-3-0348-9953-6
•   Hillman, Jonathan (2012), Algebraic invariants of links , Series on Knots and Everything, vol. 52, World Scientific, doi : 10.1142/9789814407397 , ISBN 9789814407397
• Livingston, Charles (1993), Knot Theory , The Mathematical Association of America