Segals gissningar

Segals Burnside ring gissningar , eller, mer kortfattat, Segal gissningen , är en teorem i homotopi teori , en gren av matematik . Satsen relaterar Burnside-ringen i en ändlig grupp G till den stabila kohomotopin av klassificeringsutrymmet BG . Gissningen gjordes i mitten av 1970-talet av Graeme Segal och bevisades 1984 av Gunnar Carlsson . Från och med 2016 kallas detta uttalande fortfarande ofta som Segal-förmodan, även om det nu har status som ett teorem.

Uttalande av satsen

Segal-förmodan har flera olika formuleringar, som inte alla är likvärdiga. Här finns en svag form: det finns, för varje finit grupp G , en isomorfism

$\varprojlim \pi _{S}^{0}\left(BG_{+}^{(k)}\right)\to {\widehat {A}}(G).$

Här betecknar lim den omvända gränsen , π _S * betecknar den stabila kohomotopiringen, B betecknar klassificeringsutrymmet, det upphöjda k betecknar k - skelettet , och underskriften + betecknar tillägget av en disjunkt baspunkt. På höger sida anger hatten fullbordandet av Burnside-ringen med avseende på dess förstärkningsideal .

Burnside-ringen

Huvudartikel: Burnside ring

Burnside-ringen i en finit grupp G är konstruerad från kategorin av finita G -uppsättningar som en Grothendieck-grupp . Mer exakt, låt M ( G ) vara den kommutativa monoiden av isomorfismklasser av finita G -mängder, med tillägg av den disjunkta föreningen av G -mängder och identitetselementet den tomma mängden (som är en G -mängd på ett unikt sätt). Då A ( G ), Grothendieck-gruppen av M ( G ), en abelsk grupp. Det är i själva verket en fri abelsk grupp med baselement representerade av G -mängderna G / H , där H varierar över undergrupperna av G . (Observera att H här inte antas vara en normal undergrupp av G , för medan G / H inte är en grupp i detta fall är det fortfarande en G -uppsättning.) Ringstrukturen på A ( G ) induceras av direkt produkt av G -uppsättningar; den multiplikativa identiteten är (isomorfismklassen av vilken som helst) enpunktsmängd, som blir en G -mängd på ett unikt sätt.

Burnside-ringen är analogen till representationsringen i kategorin ändliga mängder, till skillnad från kategorin ändliga dimensionella vektorrum över ett fält (se motivering nedan). Det har visat sig vara ett viktigt verktyg i representationsteorin för ändliga grupper.

Det klassificerande utrymmet

Huvudartikel: Klassificering av utrymme

För vilken topologisk grupp G som helst som medger strukturen av ett CW-komplex kan man överväga kategorin av huvudsakliga G -buntar . Man kan definiera en funktion från kategorin CW-komplex till kategorin uppsättningar genom att tilldela varje CW-komplex X uppsättningen av huvudsakliga G -buntar på X . Denna funktion går ner till en funktion i kategorin homotopi av CW-komplex, och det är naturligt att fråga sig om den så erhållna funktorn är representabel . Svaret är jakande, och det representerande objektet kallas klassificeringsutrymmet för gruppen G och betecknas vanligtvis BG . Om vi ​​begränsar vår uppmärksamhet till homotopikategorin av CW-komplex, så BG unik. Varje CW-komplex som är homotopi ekvivalent med BG kallas en modell för BG .

Till exempel, om G är gruppen av ordning 2, så är en modell för BG oändligt dimensionellt reellt projektivt utrymme. Det kan visas att om G är finit så har varje CW-komplex modellering av BG celler av godtyckligt stor dimension. Å andra sidan, om G = Z , heltalen, så är klassificeringsutrymmet BG homotopi ekvivalent med cirkeln S ¹ .

Motivation och tolkning

Satsens innehåll blir något tydligare om det sätts in i sitt historiska sammanhang. I teorin om representationer av ändliga grupper kan man bilda ett objekt $R[G]$ som kallas representationsringen av $G$ på ett sätt som är helt analogt med konstruktionen av Burnside-ringen som skisseras ovan. Den stabila kohomotopin är på sätt och vis den naturliga analogen till komplex K-teori , som betecknas $KU^{*}$ . Segal blev inspirerad att göra sin gissning efter att Michael Atiyah bevisade existensen av en isomorfism

$KU^{0}(BG)\to {\widehat {R}}[G]$

vilket är ett specialfall av Atiyah–Segals avslutningssats .

•   Adams, J. Frank (1980). "Graeme Segals Burnside-ringförmodan". Topology Symposium, Siegen 1979 . Föreläsningsanteckningar i matematik. Vol. 788. Berlin: Springer. s. 378–395. MR 0585670 .
•    Carlsson, Gunnar (1984). "Ekvivariant stabil homotopi och Segals Burnside-ringförmodan". Annals of Mathematics . 120 (2): 189–224. doi : 10.2307/2006940 . JSTOR 2006940 . MR 0763905 .