Stanley symmetrisk funktion

Inom matematik och särskilt inom algebraisk kombinatorik är Stanleys symmetriska funktioner en familj av symmetriska funktioner som introducerades av Richard Stanley ( 1984 ) i sin studie av den symmetriska gruppen av permutationer .

₀ Formellt definieras Stanleys symmetriska funktion F _w ( x ₁ , x ₂ , ...) indexerad av en permutation w som summan av vissa grundläggande kvasisymmetriska funktioner . Varje summering motsvarar en reducerad nedbrytning av w , det vill säga ett sätt att skriva w som en produkt av ett minimalt möjligt antal intilliggande transpositioner . De introducerades under loppet av Stanleys uppräkning av de reducerade nedbrytningarna av permutationer, och i synnerhet hans bevis på att permutationen w = n ( n − 1)...21 (skriven här i enradsnotation ) har exakt

${\frac {{\binom {n}{2}}!}{1^{n-1}\ cdot 3^{n-2}\cdot 5^{n-3}\cdots (2n-3)^{1}}}$

minskade nedbrytningar. (Här ${\binom {n}{2}}$ betecknar binomialkoefficienten n ( n − 1)/2 och ! betecknar fakulteten . )

Egenskaper

Stanleys symmetriska funktion F _w är homogen med grad lika med antalet inversioner av w . Till skillnad från andra trevliga familjer av symmetriska funktioner har Stanleys symmetriska funktioner många linjära beroenden och utgör därför inte en bas för ringen av symmetriska funktioner . När en Stanleys symmetrisk funktion expanderas i grunden för Schur-funktioner , är koefficienterna alla icke-negativa heltal .

Stanleys symmetriska funktioner har egenskapen att de är den stabila gränsen för Schubert-polynom

$F_{w}(x)=\lim _{n\to \infty }{\mathfrak {S}}_{1^ {n}\ gånger w}(x)$

där vi behandlar båda sidor som formella effektserier och tar gränsen koefficientmässigt.

•    Stanley, Richard P. (1984), "Om antalet reducerade nedbrytningar av element i Coxeter-grupper" (PDF) , European Journal of Combinatorics , 5 (4): 359–372, doi : 10.1016/s0195-6698(84) 80039-6 , ISSN 0195-6698 , MR 0782057