Reeb graf

Reeb-graf över höjdfunktionen på torus.

En Reeb-graf (uppkallad efter Georges Reeb av René Thom ) är ett matematiskt objekt som återspeglar utvecklingen av nivåuppsättningarna för en verkligt värderad funktion på ett grenrör . Enligt ett liknande koncept introducerades av GM Adelson-Velskii och AS Kronrod och tillämpades på analys av Hilberts trettonde problem . Reeb-grafer , som föreslagits av G. Reeb som ett verktyg i morseteorin , är det naturliga verktyget för att studera funktionella relationer med flera värden mellan 2D-skalära fält ${\displaystyle \psi } ,$$\lambda$ och $\phi$ som härrör från villkoren $\nabla \psi =\lambda \nabla \phi$ och $\lambda \neq 0$ , eftersom dessa relationer är enkla värdefulla när de är begränsade till en region associerad med en individuell kant av Reeb-grafen. Denna allmänna princip användes först för att studera neutrala ytor i oceanografi .

Reeb-grafer har också hittat en mängd olika tillämpningar inom beräkningsgeometri och datorgrafik , inklusive datorstödd geometrisk design , topologibaserad formmatchning, topologisk dataanalys , topologisk förenkling och rengöring, ytsegmentering och parametrisering, effektiv beräkning av nivåuppsättningar, neurovetenskap , och geometrisk termodynamik . I ett specialfall av en funktion på ett platt utrymme (tekniskt sett en enkelt ansluten domän), bildar Reeb-grafen ett polyträd och kallas även ett konturträd .

Nivåuppsättningsgrafer hjälper statistisk inferens relaterad till att uppskatta sannolikhetstäthetsfunktioner och regressionsfunktioner , och de kan bland annat användas i klusteranalys och funktionsoptimering .

Formell definition

Givet ett topologiskt utrymme X och en kontinuerlig funktion f : X → R , definiera en ekvivalensrelation ∼ på X där p ∼ q närhelst p och q tillhör samma anslutna komponent i en enkel nivåmängd f ⁻¹ ( c ) för någon reell c . Reeb -grafen är kvotutrymmet X /∼ försett med kvottopologin .

Beskrivning för morsefunktioner

Om f är en morsefunktion med distinkta kritiska värden kan Reeb-grafen beskrivas mer explicit. Dess noder, eller hörn, motsvarar de kritiska nivåuppsättningarna f ⁻¹ ( c ). Mönstret i vilket bågarna, eller kanterna, möts vid noderna/topparna återspeglar förändringen i topologi för nivåuppsättningen f ⁻¹ ( t ) när t passerar genom det kritiska värdet c . Till exempel, om c är ett minimum eller ett maximum av f skapas eller förstörs en komponent; följaktligen uppstår eller slutar en båge vid motsvarande nod, som har grad 1. Om c är en sadelpunkt med index 1 och två komponenter av f ⁻¹ ( t ) går samman vid t = c när t ökar, kommer motsvarande vertex av Reeb-grafen har grad 3 och ser ut som bokstaven "Y"; samma resonemang gäller om indexet för c är dim X −1 och en komponent av f ⁻¹ ( c ) delas i två.