Boxtopologi

Inom topologi kan den kartesiska produkten av topologiska utrymmen ges flera olika topologier. Ett av de mer uppenbara valen är boxtopologin , där en bas ges av de kartesiska produkterna av öppna uppsättningar i komponentutrymmena. En annan möjlighet är produkttopologin , där en bas ges av de kartesiska produkterna av öppna uppsättningar i komponentutrymmena, av vilka endast ändligt många inte kan vara lika med hela komponentutrymmet.

Medan boxtopologin har en något mer intuitiv definition än produkttopologin, uppfyller den färre önskvärda egenskaper. I synnerhet, om alla komponentutrymmen är kompakta , kommer boxtopologin på deras kartesiska produkt inte nödvändigtvis att vara kompakt, även om produkttopologin på deras kartesiska produkt alltid kommer att vara kompakt. I allmänhet är boxtopologin finare än produkttopologin, även om de två är överens i fallet med ändliga direkta produkter (eller när alla utom ändligt många av faktorerna är triviala ).

Definition

Givet $X$ så att

X:=\prod _{i\in I}X_{i},

eller den (möjligen oändliga) kartesiska produkten av de topologiska utrymmena $X_{i}$ , indexerad med $i\in I$ , boxtopologin på $X$ genereras av basen _

{\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\mid U_{i}{\text{ öppen i }}X_{i}\right\} .

Namnrutan kommer från fallet R ⁿ , där basmängderna ser ut som rutor . Mängden $\prod _{i\in I}X_{i}$ som är utrustad med boxtopologin betecknas ibland med ${\underset {i\in I}{\square }}X_{i}.$

Egenskaper

Boxtopologi på R ^ω :

Boxtopologin är helt regelbunden
Boxtopologin är varken kompakt eller ansluten
Boxtopologin är inte först räknabar (därav inte mätbar )
Boxtopologin är inte separerbar
Boxtopologin är parakompakt (och därmed normal och helt regelbunden) om kontinuumhypotesen är sann

Exempel — misslyckande med kontinuitet

Följande exempel är baserat på Hilbert-kuben . Låt R ^ω beteckna den räknebara kartesiska produkten av R med sig själv, dvs mängden av alla sekvenser i R . Utrusta R med standardtopologin och R ^ω med boxtopologin. Definiera:

{\begin{cases}f:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{\omega }\\x\ mapsto (x,x,x,\ldots )\end{cases}}

Så alla komponentfunktioner är identiteten och därmed kontinuerliga, men vi kommer att visa att f inte är kontinuerlig. För att se detta, överväg den öppna uppsättningen

U=\prod _{n=1}^{\infty }\left(-{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right).

Antag att f var kontinuerliga. Sedan, sedan:

f(0)=(0,0,0,\ldots )\in U,

det borde finnas $\varepsilon >0$ så att $(-\varepsilon ,\varepsilon )\subset f^{-1}(U).$ Men detta skulle innebära att

f\left({\tfrac {\varepsilon }{2}}\right)=\left({\tfrac { \varepsilon }{2}},{\tfrac {\varepsilon }{2}},{\tfrac {\varepsilon }{2}},\ldots \right)\in U,

vilket är falskt eftersom ${\tfrac {\varepsilon }{2}}>{\tfrac {1}{n}}$ för $n>{\tfrac {2}{\varepsilon }}.$ Således är f inte kontinuerlig även om alla dess komponentfunktioner är det.

Exempel — bristande kompakthet

Betrakta den räknebara produkten $X=\prod X_{i}$ där för varje i , $X_{i}=\{0,1\}$ med den diskreta topologin. Boxtopologin på $X$ kommer också att vara den diskreta topologin. Eftersom diskreta utrymmen är kompakta om och bara om de är ändliga, ser vi omedelbart att $X$ inte är kompakt, även om dess komponentutrymmen är det.

$X$ är inte heller sekventiellt kompakt: betrakta sekvensen ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }} som$ ges av

(x_{n})_{m}={\begin{cases}0&m<n\\1&m\geq n\end{cases}}

Eftersom inga två punkter i sekvensen är lika, har sekvensen ingen gränspunkt, och därför är $X$ inte sekventiellt kompakt.

Konvergens i boxtopologin

Topologier förstås ofta bäst genom att beskriva hur sekvenser konvergerar. I allmänhet är en kartesisk produkt av ett mellanslag $X$ med sig själv över en indexeringsmängd $S$ exakt funktionsutrymmet från $S$ till $X$ , betecknat ${\textstyle \prod _{s\in S}X=X^{S}}$ . Produkttopologin ger topologin för punktvis konvergens ; sekvenser av funktioner konvergerar om och endast om de konvergerar vid varje punkt i $S$ .

Eftersom boxtopologin är finare än produkttopologin är konvergens av en sekvens i boxtopologin ett mer stringent villkor. Om vi antar att $X$ är Hausdorff, konvergerar en sekvens $(f_{n})_{n}$ av funktioner i $X^{S}$ i boxtopologin till en funktion $f\in X^{S}$ om och endast om den konvergerar punktvis till $f$ och det finns en finit delmängd $S_{0}\ delmängd S$ och det finns en $N$ så att för alla $n>N$ sekvensen $(f_{n}(s))_ {n}$ i $X$ är konstant för alla $s\in S\setminus S_{0}$ . Med andra ord, sekvensen $(f_{n}(s))_{n}$ är slutligen konstant för nästan alla $s$ och på ett enhetligt sätt.

Jämförelse med produkttopologi

Basmängderna i produkttopologin har nästan samma definition som ovan, förutom med villkoret att alla utom ändligt många U _i är lika med komponentrymden X _i . Produkttopologin uppfyller en mycket önskvärd egenskap för mappar : _fi : _fi Y → Xi in _{i komponentutrymmena} produktkartan f : Y → X definierad av komponentfunktionerna fi _. är kontinuerlig om och endast om alla är kontinuerliga Som visas ovan gäller detta inte alltid i boxtopologin. Detta gör faktiskt boxtopologin mycket användbar för att tillhandahålla motexempel - många kvaliteter som kompakthet , koppling , mätbarhet, etc., om de innehas av faktorrymden, finns i allmänhet inte bevarade i produkten med denna topologi.

Se även

Anteckningar

Steen, Lynn A. och Seebach, J. Arthur Jr .; Motexempel i Topology , Holt, Rinehart och Winston (1970). ISBN 0030794854 .
Willard, Stephen (2004). Allmän topologi . Dover Publikationer. ISBN 0-486-43479-6 .

externa länkar

"Lådtopologi" . PlanetMath .