Produkt av gruppdelmängder
I matematik kan man definiera en produkt av gruppundermängder på ett naturligt sätt. Om S och T är delmängder av en grupp G , så är deras produkt delmängden av G definierad av
Delmängderna S och T behöver inte vara undergrupper för att denna produkt ska vara väldefinierad. Associativiteten för denna produkt följer av den för gruppprodukten . Produkten av gruppundermängder definierar därför en naturlig monoidstruktur på kraftmängden G .
Mycket mer kan sägas i fallet där S och T är undergrupper. Produkten av två undergrupper S och T i en grupp G är i sig själv en undergrupp av G om och endast om ST = TS .
Produkt av undergrupper
Om S och T är undergrupper av G behöver deras produkt inte vara en undergrupp (till exempel två distinkta undergrupper av ordning 2 i den symmetriska gruppen på 3 symboler). Denna produkt kallas ibland Frobenius - produkten . Generellt sett är produkten av två undergrupper S och T en undergrupp om och endast om ST = TS , och de två undergrupperna sägs permutera . ( Walter Ledermann har kallat detta faktum för produktsatsen , men detta namn, precis som "Frobenius-produkt" är inte på något sätt standard.) I det här fallet är ST gruppen som genereras av S och T ; dvs ST = TS = ⟨ S ∪ T ⟩.
Om antingen S eller T är normalt så är villkoret ST = TS uppfyllt och produkten är en undergrupp. Om både S och T är normala är produkten också normal.
Om S och T är ändliga undergrupper av en grupp G , så är ST en delmängd av G av storleken |ST| ges av produktformeln :
Observera att detta gäller även om varken S eller T är normalt.
Modulär lag
Följande modulära lag (för grupper) gäller för varje Q en undergrupp av S , där T är vilken annan godtycklig undergrupp som helst (och både S och T är undergrupper av någon grupp G ):
- Q ( S ∩ T ) = S ∩ ( QT ).
De två produkter som förekommer i denna jämställdhet är inte nödvändigtvis undergrupper.
Om QT är en undergrupp (motsvarande, som noterats ovan, om Q och T permuterar) så är QT = ⟨ Q ∪ T ⟩ = Q ∨ T ; dvs QT är sammanfogningen av Q och T i gittret av undergrupper av G , och den modulära lagen för ett sådant par kan också skrivas som Q ∨ ( S ∩ T ) = S ∩ ( Q ∨ T ), vilket är ekvation som definierar ett modulärt gitter om det gäller för tre element i gittret med Q ≤ S . I synnerhet, eftersom normala undergrupper permuterar med varandra, bildar de ett modulärt subgitter .
En grupp där varje undergrupp permuterar kallas en Iwasawa-grupp . Undergruppens gitter i en Iwasawa-grupp är alltså ett modulärt gitter, så dessa grupper kallas ibland modulära grupper (även om den senare termen kan ha andra betydelser.)
Antagandet i modullagen för grupper (som formulerats ovan) att Q är en undergrupp av S är väsentligt. Om Q inte är en undergrupp av S så är den preliminära, mer generella fördelningsegenskapen som man kan betrakta S ∩ ( QT ) = ( S ∩ Q )( S ∩ T ) falsk .
Produkt av undergrupper med trivial skärningspunkt
I synnerhet, om S och T skär varandra endast i identiteten, så har varje element i ST ett unikt uttryck som en produkt st med s i S och t i T . Om S och T också pendlar så är ST en grupp och kallas för en Zappa–Szép-produkt . Ännu vidare, om S eller T är normal i ST , så sammanfaller ST med den halvdirekta produkten av S och T. Slutligen, om både S och T är normala i ST , så sammanfaller ST med den direkta produkten av S och T.
Om S och T är undergrupper vars skärningspunkt är den triviala undergruppen (identitetselement) och dessutom ST = G , så kallas S ett komplement till T och vice versa.
Genom ett (lokalt otvetydigt) missbruk av terminologi kallas ibland två undergrupper som korsar varandra endast på den (annars obligatoriska) identiteten ibland disjunkta .
Produkt av undergrupper med icke-trivial skärningspunkt
En fråga som uppstår vid en icke-trivial skärning mellan en normal undergrupp N och en undergrupp K är vad som är strukturen för kvoten NK / N . Även om man kan vara frestad att bara "avbryta" N och säga att svaret är K , är det inte korrekt eftersom en homomorfism med kärnan N också kommer att "kollapsera" (mappa till 1) alla element i K som råkar finnas i N . Det korrekta svaret är alltså att NK / N är isomorft med K /( N ∩ K ). Detta faktum kallas ibland den andra isomorfismsatsen , (även om numreringen av dessa satser ser en viss variation mellan författare); det har också kallats diamantsatsen av I. Martin Isaacs på grund av formen på undergruppsgittret som är involverat, och har också kallats parallellogramregeln av Paul Moritz Cohn , som alltså betonade analogi med parallellogramregeln för vektorer eftersom i den resulterande undergruppen gitter de två sidorna som antas representera kvotgrupperna ( SN ) / N och S / ( S ∩ N ) är "lika" i betydelsen isomorfism.
Frattinis argument garanterar existensen av en produkt av undergrupper (som ger upphov till hela gruppen) i ett fall där skärningspunkten inte nödvändigtvis är trivial (och av denna senare anledning är de två undergrupperna inte komplement). Närmare bestämt, om G är en finit grupp med normal undergrupp N , och om P är en Sylow p -undergrupp av N , så är G = NG ( P ) N , där NG ( P ) betecknar normaliseraren för P i G. (Observera att normaliseringen av P inkluderar P , så skärningspunkten mellan N och N G ( P ) är åtminstone P .)
Generalisering till semigrupper
I en halvgrupp S definierar produkten av två delmängder en struktur av en halvgrupp på P(S), effektmängden för halvgruppen S; vidare är P(S) en semiring med addition som union (av delmängder) och multiplikation som produkt av delmängder.
Se även
- Rotman, Joseph (1995). An Introduction to the Theory of Groups (4:e upplagan). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8 .