Frattinis argument

I gruppteorin , en gren av matematiken , är Frattinis argument ett viktigt lemma i strukturteorin för ändliga grupper . Den är uppkallad efter Giovanni Frattini , som använde den i ett papper från 1885 när han definierade Frattini-undergruppen till en grupp. Argumentet togs av Frattini, som han själv medger, från en tidning av Alfredo Capelli daterad 1884.

Frattinis argument

Påstående

Om $G$ är en finit grupp med normal undergrupp $H$ , och om $P$ är en Sylow p -undergrupp av $H$ , då

$G=N_{G}(P)H$

där $N_{G}(P)$ anger normaliseringen av $P$ i $G$ och $N_{G}(P )H$ betyder produkten av gruppdelmängder .

Bevis

Gruppen $P$ är en Sylow $p$ -undergrupp av $H$ , så varje Sylow $p$ -undergrupp av $H$ är en ${\ displaystyle H}$ -konjugat av $P$ , det vill säga den har formen $h^{-1}Ph$ , för vissa $h\in H$ (se Sylows satser ). Låt $g$ vara valfritt element i $G$ . Eftersom $H$ är normal i ${\displaystyle G} ,$ ingår undergruppen ${\displaystyle g^{-1}Pg} i$$H$ . Detta betyder att $g^{-1}Pg$ är en Sylow $p$ -undergrupp av $H$ . Sedan enligt ovan måste det vara $H$ -konjugerat till $P$ : det vill säga för vissa $h\in H$

$g^{-1}Pg=h^{-1}Ph$ ,

och så

$hg^{-1}Pgh^{-1}=P$ .

Således,

$gh^{-1}\in N_{G}(P)$ ,

och därför $g\in N_{G}(P)H$ . Men $g\in G$ var godtycklig, så $G=HN_{G}(P)=N_{G}(P)H.\,\,\square$

Ansökningar

• Frattinis argument kan användas som en del av ett bevis på att vilken ändlig nilpotent grupp som helst är en direkt produkt av dess Sylow-undergrupper.
• Genom att tillämpa Frattinis argument på ${\displaystyle N_{G}(N_{G}(P))} ,$ kan det visas att $N_{G}(N_{G}(P))=N_{G}(P)$ när $G$ är en finit grupp och $P$ är en Sylow ${ \displaystyle p}$ -undergrupp av $G$ .
• Mer allmänt, om en undergrupp $M\leq G$ innehåller $N_{G}(P)$ för vissa Sylow $p$ -undergrupp $P$ av $G$ , då är $M$ självnormaliserande, dvs $M=N_{G}(M)$ .

externa länkar

• Frattinis argument om ProofWiki

• Hall, Marshall (1959). Gruppteorin . New York, NY: Macmillan. (Se kapitel 10, särskilt avsnitt 10.4.)