Central produkt

Den här artikeln handlar om en konstruktion i matematik. För artikeln om företagets produkter eller tjänster som är direkt relaterade till företagets kärnkompetenser, se Kärnprodukt .

Inom matematiken , särskilt inom gruppteorin , är den centrala produkten ett sätt att framställa en grupp från två mindre grupper. Den centrala produkten liknar den direkta produkten , men i den centrala produkten slås två isomorfa centrala undergrupper av de mindre grupperna samman till en enda central undergrupp av produkten. Centrala produkter är en viktig konstruktion och kan till exempel användas för att klassificera extraspeciella grupper .

Definition

Det finns flera relaterade men distinkta föreställningar om central produkt. I likhet med den direkta produkten finns det både interna och externa karakteriseringar, och dessutom finns det variationer på hur strikt skärningspunkten mellan faktorerna kontrolleras.

En grupp G är en intern central produkt av två undergrupper H , K if

1. G genereras av H och K.
2. Varje element i H pendlar med varje element av K . ( Gorenstein 1980 , s. 29)

Ibland ställs det strängare kravet på att $H\cap K$ är exakt lika med mitten, som i ( Leedham-Green & McKay 2002, s. 32). Undergrupperna H och K kallas då för centrala faktorer av G .

Den externa centrala produkten är uppbyggd av två grupper H och K , två undergrupper $H_{1}\leq Z(H)$ och $K_{1 }\leq Z(K)$ , och en gruppisomorfism $\theta \colon H_{1}\to K_{1}$ . Den externa centrala produkten är kvoten av den direkta produkten $H\times K$ av den normala undergruppen

$N=\{(h,k):h\in H_{1}, k\in K_{1},{\text{ och }}\theta (h)\cdot k=1\}$ ,

( Gorenstein 1980 , s. 29). Ibland ställs det strängare kravet att H ₁ = Z( H ) och K ₁ = Z( K ) som i ( Leedham-Green & McKay 2002, s. 32).

En intern central produkt är isomorf till en extern central produkt med H ₁ = K ₁ = H ∩ K och θ identiteten. En extern central produkt är en intern central produkt av bilderna av H × 1 och 1 × K i kvotgruppen $(H\times K)/N$ . Detta visas för varje definition i ( Gorenstein 1980 , s. 29) och ( Leedham-Green & McKay 2002, s. 32–33).

Observera att den externa centrala produkten i allmänhet inte bestäms av enbart dess faktorer H och K. Den centrala produktens isomorfism kommer att bero på isomorfismen θ . Den är dock väldefinierad i vissa anmärkningsvärda situationer, till exempel när H och K båda är ändliga extra specialgrupper och $H_{1}=Z(H)$ och $K_{1}=Z(K)$ .

Exempel

• Pauli -gruppen är den centrala produkten av den cykliska gruppen $C_{4}$ och den dihedrala gruppen $D_{4}$ .
• Varje extra specialgrupp är en central produkt av extra specialgrupper av beställning p ³ .
• Lagret av en ändlig grupp, det vill säga undergruppen som genereras av alla subnormala kvasienkla subgrupper , är en central produkt av kvasisenkla grupper i Gorensteins mening.

Ansökningar

Representationsteorin för centrala produkter är mycket lik representationsteorin för direkta produkter, och är så väl förstådd ( Gorenstein 1980 , kap. 3.7).

Centrala produkter förekommer i många strukturella lemman, såsom ( Gorenstein 1980 , s. 350, Lemma 10.5.5) som används i George Glaubermans resultat att ändliga grupper som tillåter en Klein fyra-grupp av fixpunktsfria automorfismer är lösbara .

I vissa sammanhang av en tensorprodukt av Lie-moduler (och andra relaterade strukturer), innehåller automorfismgruppen en central produkt av automorfismgrupperna för varje faktor ( Aranda-Orna 2022 , $\S$ 4).

•    Gorenstein, Daniel (1980), Finite Groups , New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6 , MR 0569209
•    Leedham-Green, CR ; McKay, Susan (2002), The structure of groups of prime power order , London Mathematical Society Monographs. Ny serie, vol. 27, Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853548-5 , MR 1918951
• Aranda-Orna, Diego (2022), On the Faulkner construction for generalized Jordan superpairs , Linear Algebra and its Applications, vol. 646, s. 1–28