Weierstrass M-test

Inom matematik är Weierstrass M - test ett test för att avgöra om en oändlig serie funktioner konvergerar enhetligt och absolut . Det gäller serier vars termer är begränsade funktioner med reella eller komplexa värden, och är analogt med jämförelsetestet för att bestämma konvergensen av serier av reella eller komplexa tal. Den är uppkallad efter den tyske matematikern Karl Weierstrass (1815-1897).

Påstående

Weierstrass M-test. Antag att ( f _n ) är en sekvens av funktioner med reella eller komplexa värden definierade på en mängd A , och att det finns en sekvens av icke-negativa tal ( M _n ) som uppfyller villkoren

• $|f_{n}(x)|\leq M_{n}$ för alla $n\geq 1$ och alla $x\in A$ , och
• $\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ konvergerar.

Sedan serien

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$

konvergerar absolut och enhetligt på A .

Resultatet används ofta i kombination med den enhetliga gränssatsen . Tillsammans säger de att om mängden A förutom ovanstående villkor är ett topologiskt rum och funktionerna f _n är kontinuerliga på A så konvergerar serien till en kontinuerlig funktion.

Bevis

Tänk på sekvensen av funktioner

$S_{n}(x)=\summa _{k=1}^{n}f_{k}(x).$

Eftersom serien $\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ konvergerar och M _n ≥ 0 för varje n , sedan av Cauchy-kriteriet ,

$\forall \varepsilon >0:\exists N:\forall m>n>N:\sum _{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .$

För det valda N ,

$\forall x\in A:\forall m>n>N$

$\left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\summa _{k=n+1}^{m}f_{k}(x)\ höger|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k=n+1}^{m}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k=n+1} ^{m}M_{k}<\varepsilon .$

(Ojämlikhet (1) följer av triangeln olikhet .)

Sekvensen S _n ( x ) är alltså en Cauchy - sekvens i R eller C , och av fullständighet konvergerar den till något tal S ( x ) som beror på x . För n > N kan vi skriva

$\left|S(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\lim _{m\to \infty }S_{m}(x)-S_{n}(x) \right|=\lim _{m\to \infty }\left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|\leq \varepsilon .$

Eftersom N inte är beroende av x , betyder det att sekvensen S _n av delsummor konvergerar enhetligt till funktionen S . Därför, per definition, konvergerar serien ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)} enhetligt.$

Analogt kan man bevisa att $\sum _{k=1}^{\infty }|f_{k}(x)|$ konvergerar enhetligt.

Generalisering

En mer allmän version av Weierstrass M-test gäller om funktionernas gemensamma koddomän ( f _n ) är ett Banach-utrymme , i vilket fall premissen

$|f_{n}(x)|\leq M_{n}$

ska ersättas av

$\|f_{n}(x)\|\leq M_{n}$ ,

där $\|\cdot \|$ är normen på Banach-utrymmet. För ett exempel på användningen av detta test på ett Banach-utrymme, se artikeln Fréchet-derivat .

Se även

• Exempel på Weierstrass M-test

•    Rudin, Walter (1991). Funktionsanalys . Internationell serie i ren och tillämpad matematik. Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
•   Rudin, Walter (maj 1986). Verklig och komplex analys . McGraw-Hill vetenskap/teknik/matematik. ISBN 0-07-054234-1 .
• Rudin, Walter (1976). Principer för matematisk analys . McGraw-Hill vetenskap/teknik/matematik.
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1927). En kurs i modern analys (fjärde upplagan). Cambridge University Press. sid. 49.