Polynom identitetsring

I ringteorin , en gren av matematiken , är en ring R en polynomidentitetsring om det finns, för vissa N > 0, ett element P ≠ 0 av den fria algebra , Z ⟨ X ₁ , X ₂ , ..., X _N ⟩, över ringen av heltal i N variabler X ₁ , X ₂ , ..., X _N så att

P(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{N})=0

för alla N - tupler r ₁ , r ₂ , ..., rN _tagna från R .

Strängt taget är X _i här "icke-pendlande obestämda", och därför är "polynomidentitet" ett litet missbruk av språket , eftersom "polynom" här står för vad som vanligtvis kallas ett "icke-kommutativt polynom". Förkortningen PI-ring är vanlig. Mer generellt kan den fria algebra över vilken ring S som helst användas, och ger begreppet PI-algebra .

Om graden av polynomet P definieras på vanligt sätt, kallas polynomet P moniskt om åtminstone en av dess termer av högsta grad har koefficient lika med 1.

Varje kommutativ ring är en PI-ring, som uppfyller polynomidentiteten XY − YX = 0. Därför tas PI-ringar vanligtvis som nära generaliseringar av kommutativa ringar . Om ringen har karakteristiken p som skiljer sig från noll så uppfyller den polynomidentiteten pX = 0. För att utesluta sådana exempel definieras ibland att PI-ringar måste uppfylla en monisk polynomidentitet.

Exempel

Till exempel, om R är en kommutativ ring är det en PI-ring: detta är sant med

P(X_{1},X_ {2})=X_{1}X_{2}-X_{2}X_{1}=0~

Ringen med 2 × 2 matriser över en kommutativ ring uppfyller Hall-identiteten

(xy-yx)^{2}z=z(xy-yx)^{2}

Denna identitet användes av M. Hall ( 1943 ), men hittades tidigare av Wagner ( 1937 ).

En stor roll spelar i teorin av standardidentiteten s N _, av längden N , som generaliserar det exempel som ges för kommutativa ringar ( N = 2). Den härrör från Leibniz formel för determinanter

{\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{N}}\operatörsnamn {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{N}a_{i,\sigma (i)}} genom att ersätta varje produkt i summan med produkten

av X _i i den ordning som ges av permutationen σ . Med andra ord var och en av N ! order summeras och koefficienten är 1 eller −1 enligt signaturen .

s_{N}(X_{1},\ldots , X_{N})=\summa _{\sigma \in S_{N}}\operatörsnamn {sgn}(\sigma )X_{\sigma (1)}\dotsm X_{\sigma (N)}=0~

Matrisringen m × m över vilken kommutativ ring som helst uppfyller en standardidentitet: Amitsur–Levitzki - satsen säger att den uppfyller s _{2 m} . Graden av denna identitet är optimal eftersom matrisringen inte kan uppfylla något moniskt polynom med grad mindre än 2 m .

Givet ett fält k med karakteristisk noll, ta R som den yttre algebra över ett räkningsbart oändligt dimensionellt vektorrum med bas e ₁ , e ₂ , e ₃ , ... Sedan genereras R av elementen i denna bas och

e _i e _j = − e _j e _i .

Denna ring uppfyller inte s _N för något N och kan därför inte bäddas in i någon matrisring. Faktum är _{att sN} ( e 1 _, e2 , ... , _eN ) = N _! e ₁ e ₂ ... e _N ≠ 0. Å andra sidan är det en PI-ring eftersom den uppfyller [[ x , y ], z ] := xyz − yxz − zxy + zyx = 0. Det räcker för att kontrollera detta för monomialer i e _i :en. Nu pendlar en monomial av jämn grad med varje element. Om antingen x eller y är en monomial av jämn grad [ x , y ] := xy − yx = 0. Om båda är av udda grad så har [ x , y ] = xy − yx = 2 xy jämn grad och pendlar därför med z , dvs [[ x , y ], z ] = 0.

Egenskaper

Varje subring eller homomorf bild av en PI-ring är en PI-ring.
En ändlig direkt produkt av PI-ringar är en PI-ring.
En direkt produkt av PI-ringar, som uppfyller samma identitet, är en PI-ring.
Det kan alltid antas att identiteten som PI-ringen uppfyller är multilinjär .
Om en ring ändligt genereras av n element som en modul över dess centrum så uppfyller den varje alternerande multilinjärt polynom av grad större än n . Speciellt uppfyller den s _N för N > n och därför är den en PI-ring.
Om R och S är PI-ringar så är deras tensorprodukt över heltalen, ${\displaystyle R\otimes _{\mathbb {Z} }S},$ också en PI-ring.
Om R är en PI-ring, så är det också ringen av n × n matriser med koefficienter i R .

PI-ringar som generaliseringar av kommutativa ringar

Bland icke-kommutativa ringar uppfyller PI-ringar Köthe-förmodan . Affina PI - algebror över ett fält tillfredsställer Kurosh-förmodan , Nullstellensatz och kontaktledningsegenskapen för främsta ideal .

Om R är en PI-ring och K är en subring av dess centrum så att R är en integral över K så är egenskaperna för att gå upp och ned för primideal för R och K uppfyllda. Även liggande över egenskapen (om p är ett primideal av K så finns det ett primideal P av R så att $p$ är minimal över $displaystyle P\cap K}$ \ ) och injämförbarhetsegenskapen (Om P och Q är primideal för R och $P\subset Q$ så är $P\cap K\subset Q\cap K$ uppfyllda.

Uppsättningen av identiteter som en PI-ring uppfyller

Om F := Z ⟨ X ₁ , X ₂ , ..., X _N ⟩ är den fria algebra i N variabler och R är en PI-ring som uppfyller polynomet P i N variabler, så är P i kärnan av någon homomorfism

\tau

: F

\rightarrow

R .

Ett ideal I av F kallas T-ideal om $f(I)\subset I$ för varje endomorfism f av F .

Givet en PI-ring, R , är uppsättningen av alla polynomidentiteter som den uppfyller ett ideal men ännu mer är det ett T-ideal. Omvänt, om I är en T-ideal av F så är F / I en PI- ring som uppfyller alla identiteter i I. Det antas att I innehåller moniska polynom när PI-ringar krävs för att uppfylla moniska polynomidentiteter.

Se även

Latyshev, VN (2001) [1994], "PI-algebra" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Formanek, E. (2001) [1994], "Amitsur–Levitzki-teorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Polynomidentiteter i ringteori , Louis Halle Rowen, Academic Press, 1980, ISBN 978-0-12-599850-5
Polynomial identitetsringar , Vesselin S. Drensky, Edward Formanek, Birkhäuser, 2004, ISBN 978-3-7643-7126-5
Polynomidentiteter och asymptotiska metoder , A. Giambruno, Mikhail Zaicev, AMS Bookstore, 2005, ISBN 978-0-8218-3829-7
Computational aspects of polynomial identitys , Alexei Kanel-Belov, Louis Halle Rowen, AK Peters Ltd., 2005, ISBN 978-1-56881-163-5

Vidare läsning

Formanek, Edward (1991). Polynomidentiteterna och invarianterna för n × n matriser . Regional konferensserie i matematik. Vol. 78. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-0730-7 . Zbl 0714.16001 .
Kanel-Belov, Alexei; Rowen, Louis Halle (2005). Beräkningsaspekter av polynomidentiteter . Forskningsanteckningar i matematik. Vol. 9. Wellesley, MA: AK Peters. ISBN 1-56881-163-2 . Zbl 1076.16018 .

externa länkar

Polynomidentitetsalgebra på PlanetMath .
Standardidentitet hos PlanetMath .
T-ideal på PlanetMath .