Går upp och går ner

I kommutativ algebra , en gren av matematiken , är att gå upp och ner termer som hänvisar till vissa egenskaper hos kedjor av primära ideal i integralförlängningar .

Frasen att gå upp hänvisar till fallet när en kedja kan förlängas med "uppåtgående inkludering ", medan att gå ner hänvisar till fallet när en kedja kan förlängas genom "nedåtgående inkludering".

De viktigaste resultaten är Cohen–Seidenbergs satser , som bevisades av Irvin S. Cohen och Abraham Seidenberg . Dessa är kända som upp- och nedgångssatserna .

Går upp och går ner

Låt A ⊆ B vara en förlängning av kommutativa ringar .

Upp- och nedgångssatserna ger tillräckliga förutsättningar för att en kedja av primideal i B , vars led ligger över medlemmar av en längre kedja av primideal i A , ska kunna utsträckas till kedjans längd av främsta ideal i A .

Liggande och ojämförlighet

Först fixar vi lite terminologi. Om ${\mathfrak {p}}$ och ${\mathfrak {q}}$ är primideal för A respektive B , så att

{\mathfrak {q}}\cap A={\mathfrak {p}}

(observera att ${\mathfrak {q}}\cap A$ automatiskt är ett primideal av A ) då säger vi att ${\mathfrak {p}}$ ligger under ${\mathfrak {q}}$ och att ${\mathfrak {q}}$ ligger över ${\mathfrak {p}}$ . I allmänhet sägs en ringförlängning A ⊆ B av kommutativa ringar tillfredsställa den överliggande egenskapen om varje primideal ${\mathfrak {p}}$ av A ligger under något primideal ${\mathfrak {q}}$ av B .

Tillägget A ⊆ B sägs uppfylla injämförbarhetsegenskapen om närhelst ${\mathfrak {q}}$ och ${\mathfrak {q}}'$ är distinkta primtal av B som ligger över ett primtal ${\mathfrak {p}}$ i A , sedan ${\mathfrak {q}}$ ⊈ ${\mathfrak {q}}'$ och ${ \mathfrak {q}}'$ ⊈ ${\mathfrak {q}}$ .

Går upp

Ringförlängningen A ⊆ B sägs tillfredsställa den uppgående egenskapen om när som helst

{\mathfrak {p}}_{1}\subseteq {\mathfrak {p}}_{2}\subseteq \!\!\;\cdots \ cdots \cdots \!\!\,\subseteq {\mathfrak {p}}_{n}

är en kedja av främsta ideal av A och

{\mathfrak {q}}_{1}\subseteq {\mathfrak {q}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}} _{m}

är en kedja av primideal av B med m < n och sådan att ${\mathfrak {q}}_{i}$ ligger över ${\mathfrak {p}}_{i}$ för 1 ≤ i ≤ m , då kan den senare kedjan förlängas till en kedja

{\mathfrak {q}}_{1}\subseteq {\mathfrak {q}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\ mathfrak {q}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{n}

så att ${\mathfrak {q}}_{i}$ ligger över ${\mathfrak {p}}_{i}$ för varje 1 ≤ i ≤ n .

I ( Kaplansky 1970 ) visas att om en förlängning A ⊆ B uppfyller den uppgående egenskapen, så uppfyller den också den liggande egenskapen.

Går ner

Ringförlängningen A ⊆ B sägs tillfredsställa nedgångsegenskapen om som helst

{\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{2}\supseteq \!\!\;\cdots \ cdots \cdots \!\!\,\supseteq {\mathfrak {p}}_{n}

är en kedja av främsta ideal av A och

{\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}} _{m}

är en kedja av primideal av B med m < n och sådan att ${\mathfrak {q}}_{i}$ ligger över ${\mathfrak {p}}_{i}$ för 1 ≤ i ≤ m , då kan den senare kedjan förlängas till en kedja

{\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\ mathfrak {q}}_{m}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{n}

så att ${\mathfrak {q}}_{i}$ ligger över ${\mathfrak {p}}_{i}$ för varje 1 ≤ i ≤ n .

Det finns en generalisering av ringförlängningsfallet med ringmorfismer. Låt f : A → B vara en (enhetlig) ringhomomorfism så att B är en ringförlängning av f ( A ). Då sägs f uppfylla den uppgående egenskapen om den uppgående egenskapen håller för f ( A ) i B .

På liknande sätt, om B är en ringförlängning av f ( A ), så sägs f uppfylla den nedåtgående egenskapen om den nedåtgående egenskapen gäller för f ( A ) i B .

I fallet med vanliga ringförlängningar som A ⊆ B , är inklusionskartan den relevanta kartan .

Gå upp och gå ner satser

De vanliga påståendena om upp- och nedgångssatser hänvisar till en ringförlängning A ⊆ B :

(Gå upp) Om B är en integrerad förlängning av A , så tillfredsställer förlängningen den uppgående egenskapen (och därmed den överliggande egenskapen), och den ojämförbarhetsegenskapen.
(Gå ner) Om B är en integrerad förlängning av A , och B är en domän, och A är integrerat stängd i sitt bråkfält, så tillfredsställer förlängningen (utöver att gå upp, ligga-över och ojämförbarhet) -down egendom.

Det finns ytterligare ett tillräckligt villkor för den nedgångna fastigheten:

Om A ⊆ B är en platt förlängning av kommutativa ringar, så gäller den nedåtgående egenskapen.

Bevis : Låt p ₁ ⊆ p ₂ vara primideal för A och låt q ₂ vara ett primideal för B så att q ₂ ∩ A = p ₂ . Vi vill bevisa att det finns ett primideal q ₁ av B i q ₂ så att q ₁ ∩ A = p ₁ . Eftersom A ⊆ B är en platt förlängning av ringar, följer att Ap _{. ₂} ⊆ B _{q ₂} är en platt förlängning av ringar I själva verket _{är ₂} Ap _{en ₂} ⊆ B _{q ₂} en troget platt förlängning av ringar eftersom inklusionskartan Ap → B _{q _{2 är}} lokal homomorfism. Därför är _{2 _den} inducerade kartan på spektra Spec( B _{q ₂} ) → Spec( Ap ) surjektiv och det finns ett primideal av B _{q ₂}_{som ₂} drar ihop sig till primidealet p ₁ A _{p ₂} av Ap . Sammandragningen av detta primideal av B _{q ₂} till B är ett primideal q ₁ av B som finns i q ₂ som drar ihop sig till p ₁ . Beviset är komplett. QED

Atiyah, MF och IG Macdonald , Introduction to Commutative Algebra , Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9 MR 242802
Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen–Macaulay ringar . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 s. ISBN 0-521-41068-1
Cohen, IS; Seidenberg, A. (1946). "Primära ideal och integrerat beroende" . Tjur. Amer. Matematik. Soc . 52 (4): 252–261. doi : 10.1090/s0002-9904-1946-08552-3 . MR 0015379 .
Kaplansky, Irving , Commutative rings , Allyn och Bacon, 1970.
Matsumura, Hideyuki (1970). Kommutativ algebra . WA Benjamin. ISBN 978-0-8053-7025-6 .
Sharp, RY (2000). "13 Integral beroende av subringar (13.38 The going-up theorem, s. 258–259; 13.41 The going down theorem, s. 261–262)". Steg i kommutativ algebra . London Mathematical Society Studenttexter. Vol. 51 (andra upplagan). Cambridge: Cambridge University Press. s. xii+355. ISBN 0-521-64623-5 . MR 1817605 .