Parallell projektion

I tredimensionell geometri är en parallell projektion (eller axonometrisk projektion ) en projektion av ett objekt i tredimensionellt utrymme på ett fast plan , känt som projektionsplanet eller bildplanet , där strålarna , kända som siktlinjer eller projektion linjer , är parallella med varandra. Det är ett grundläggande verktyg inom beskrivande geometri . Projektionen kallas ortografisk om strålarna är vinkelräta (ortogonala) mot bildplanet, och sneda eller skeva om de inte är det.

Översikt

Parallellprojektionsterminologi och notationer. De två blå parallella linjesegmenten till höger förblir parallella när de projiceras på bildplanet till vänster.

En parallell projektion är ett särskilt fall av projektion i matematik och grafisk projektion i teknisk ritning . Parallella projektioner kan ses som gränsen för en central eller perspektivprojektion , där strålarna passerar genom en fast punkt som kallas centrum eller synpunkt , eftersom denna punkt flyttas mot oändligheten. Med andra ord motsvarar en parallell projektion en perspektivprojektion med en oändlig brännvidd (avståndet mellan objektivet och brännpunkten vid fotografering ) eller " zoom ". Vidare, i parallella projektioner, förblir linjer som är parallella i det tredimensionella rummet parallella i den tvådimensionellt projicerade bilden.

En perspektivprojektion av ett objekt anses ofta vara mer realistisk än en parallellprojektion, eftersom den mer liknar mänsklig vision och fotografi . Men parallella projektioner är populära i tekniska tillämpningar, eftersom parallelliteten mellan ett objekts linjer och ansikten bevaras, och direkta mätningar kan tas från bilden. Bland parallella projektioner ses ortografiska projektioner som de mest realistiska och används ofta av ingenjörer. Å andra sidan är vissa typer av snedprojektioner (till exempel kavaljerprojektion , militärprojektion ) mycket enkla att implementera och används för att skapa snabba och informella bilder av objekt.

Termen parallellprojektion används i litteraturen för att beskriva både själva proceduren (en matematisk kartläggningsfunktion) såväl som den resulterande bilden som produceras av proceduren .

Egenskaper

Två parallella projektioner av en kub. I en ortografisk projektion (till vänster) är projektionslinjerna vinkelräta mot bildplanet (rosa). I en sned projektion (till höger) befinner sig projektionslinjerna i en sned vinkel mot bildplanet.

Varje parallellprojektion har följande egenskaper:

Den är unikt definierad av dess projektionsplan Π och riktningen ${\vec {v}}$ för de (parallella) projektionslinjerna. Riktningen får inte vara parallell med projektionsplanet.
Varje punkt i rummet har en unik bild i projektionsplanet Π , och punkterna för Π är fixerade.
Varje linje som inte är parallell med riktning ${\vec {v}}$ mappas på en linje; vilken linje som helst parallell med ${\vec {v}}$ mappas till en punkt.
Parallella linjer mappas på parallella linjer, eller på ett par punkter (om de är parallella med ${\displaystyle {\vec {v}}} )$ .
Förhållandet mellan längden av två linjesegment på en linje förblir oförändrat. Som ett specialfall mappas mittpunkter på mittpunkter.
Längden på ett linjesegment parallellt med projektionsplanet förblir oförändrat . Längden på ett linjesegment förkortas om projektionen är ortografisk. ^{[ förtydligande behövs ]}
Varje cirkel som ligger i ett plan parallellt med projektionsplanet avbildas på en cirkel med samma radie. Varje annan cirkel avbildas på en ellips eller ett linjesegment (om riktning ${\vec {v}}$ är parallell med cirkelns plan).
Vinklar i allmänhet är inte bevarade. Men räta vinklar med en linje parallell med projektionsplanet förblir oförändrade.
Vilken rektangel som helst mappas till ett parallellogram eller ett linjesegment (om ${\vec {v}}$ är parallell med rektangelns plan).
Varje figur i ett plan som är parallell med bildplanet är kongruent med dess bild.

Typer

Klassificering av parallellprojektion och vissa 3D-projektioner

En parallellprojektion motsvarar en perspektivprojektion med en hypotetisk synvinkel; dvs en där kameran ligger ett oändligt avstånd från objektet och har en oändlig brännvidd, eller "zoom".

Olika projektioner och hur de produceras

Ortografisk projektion

Ortografisk projektion härleds från principerna för beskrivande geometri , och är en typ av parallell projektion där projektionsstrålarna är vinkelräta mot projektionsplanet. Det är valet av projektionstyp för arbetsritningar . Termen ortografisk reserveras ibland specifikt för avbildningar av objekt där objektets huvudaxlar eller plan också är parallella med projektionsplanet (eller papperet på vilket den ortografiska eller parallella projektionen är ritad). Termen primärsyn används dock också. I multiview-projektioner produceras upp till sex bilder av ett objekt, med varje projektionsplan vinkelrätt mot en av koordinataxlarna. Men när huvudplanen eller axlarna för ett objekt inte är parallella med projektionsplanet, utan snarare lutar i viss grad för att avslöja flera sidor av objektet, kallas de hjälpvyer eller bildbilder . Ibland är termen axonometrisk projektion reserverad enbart för dessa åsikter, och är jämsides med termen ortografisk projektion . Men axonometrisk projektion kan mer exakt beskrivas som synonymt med parallell projektion , och ortografisk projektion en typ av axonometrisk projektion .

De primära vyerna inkluderar planer , upphöjningar och sektioner ; och de isometriska , dimetriska och trimetriska projektionerna kan betraktas som hjälpvyer . En typisk (men icke-obligatorisk) egenskap hos ortografiska projektioner med flera vyer är att en rymdaxel vanligtvis visas som vertikal.

När visningsriktningen är vinkelrät mot ytan på det avbildade objektet, oavsett objektets orientering, kallas det en normal projektion . Således, i fallet med en kub orienterad med ett utrymmes koordinatsystem, skulle de primära vyerna av kuben betraktas som normala projektioner .

Sned projektion

Jämförelse av flera typer av grafisk projektion . Närvaron av en eller flera 90° huvudvinklar är vanligtvis en bra indikation på att perspektivet är snett .

I en sned projektion är de parallella projektionsstrålarna inte vinkelräta mot betraktningsplanet, utan träffar projektionsplanet i en annan vinkel än nittio grader. I både ortografisk och sned projektion visas parallella linjer i rymden parallella på den projicerade bilden. På grund av sin enkelhet används snedprojektion uteslutande för bildändamål snarare än för formella arbetsritningar. I en snett bildritning är de visade vinklarna som separerar koordinataxlarna samt förkortningsfaktorerna (skalning) godtyckliga. Den distorsion som skapas därigenom dämpas vanligtvis genom att ett plan av det avbildade objektet riktas in så att det är parallellt med projektionsplanet, vilket skapar en verkligt formad bild i full storlek av det valda planet. Särskilda typer av snedprojektioner inkluderar militär- , kavaljer- och kabinettprojektion .

Analytisk representation

Om bildplanet ges av ekvation ${\displaystyle \Pi :~{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}-d=0} och riktningen$ för projektion av ${\displaystyle {\vec {v}}} , sedan$ parametriseras projektionslinjen genom punkten ${\displaystyle P:~{\vec {p}}} av$

g:~{\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}

med

t \in \mathbb {R}

.

Bilden $P'$ av $P$ är skärningspunkten mellan linjen $g$ och planet $\Pi$ ; det ges av ekvationen

P':~{\vec {p}}'={\vec {p}}+{\frac {d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}{{\ vec {n}}\cdot {\vec {v}}}}\;{\vec {v}}\ .

I flera fall kan dessa formler förenklas.

(S1) Om man kan välja vektorerna ${\vec {n}}$ och ${\vec {v}}$ så att ${\displaystyle {\ vec {n}}\cdot {\vec {v}}=1} ,$ formeln för bilden förenklar till

{\vec {p}}'={\vec {p}}+(d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {v}}\ .

(S2) I en ortografisk projektion är vektorerna ${\vec {n}}$ och ${\vec {v}}$ parallella. I detta fall kan man välja ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {n}},\;|{\vec {n}}|=1} och en$ får

{\vec {p}}'={\vec {p}}+(d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {n}}\ .

(S3) Om man kan välja vektorerna ${\vec {n}}$ och ${\vec {v}}$ så att ${\ vec {n}}\cdot {\vec {v}}=1$ , och om bildplanet innehåller origo, har man $d=0$ och den parallella projektionen är en linjär mappning :

{\vec {p}}'={\vec {p}}-({\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {v}}={\ vec {p}}-({\vec {v}}\otimes {\vec {n}})~{\vec {p}}=(I_{3}-{\vec {v}}\otimes {\ vec {n}})\;{\vec {p}}\ .

(Här är $I_{3}$ identitetsmatrisen och $\otimes$ den yttre produkten .)

Från denna analytiska representation av en parallell projektion kan man härleda de flesta av egenskaperna angivna i de föregående avsnitten.

Historia

Axonometri har sitt ursprung i Kina . Dess funktion i kinesisk konst skilde sig från det linjära perspektivet i europeisk konst eftersom dess perspektiv inte var objektivt, eller att se utifrån. Istället använde dess mönster parallella projektioner inom målningen som gjorde det möjligt för betraktaren att betrakta både utrymmet och tidens pågående utveckling i en rullning. Enligt vetenskapsförfattaren och Medium -journalisten Jan Krikke hade axonometrin och den bildliga grammatiken som hör till den fått en ny betydelse i och med införandet av visuell databehandling och teknisk ritning .

Begreppet isometri hade funnits i en grov empirisk form i århundraden, långt innan professor William Farish (1759–1837) vid Cambridge University var den första som gav detaljerade regler för isometrisk ritning.

Farish publicerade sina idéer i tidningen "On Isometric Perspective" från 1822, där han insåg "behovet av exakta tekniska arbetsritningar fria från optisk förvrängning. Detta skulle leda honom att formulera isometri. Isometri betyder "lika mått" eftersom samma skala är används för höjd, bredd och djup".

Från mitten av 1800-talet, enligt Jan Krikke (2006) blev isometri ett "ovärderligt verktyg för ingenjörer, och snart därefter införlivades axonometri och isometri i läroplanen för arkitektutbildningar i Europa och USA. Den populära acceptansen av axonometri kom på 1920-talet, när modernistiska arkitekter från Bauhaus och De Stijl omfamnade det”. De Stijl-arkitekter som Theo van Doesburg använde axonometri för sina arkitektoniska mönster , vilket väckte en sensation när de ställdes ut i Paris 1923".

Sedan 1920-talet har axonometri, eller parallellperspektiv, varit en viktig grafisk teknik för konstnärer, arkitekter och ingenjörer. Liksom linjärt perspektiv hjälper axonometri att skildra tredimensionellt rymd på ett tvådimensionellt bildplan. Det kommer vanligtvis som en standardfunktion i CAD- system och andra visuella beräkningsverktyg.

Modell för optisk slipmotor (1822), ritad i 30° isometriskt perspektiv
Exempel på ett dimetriskt perspektiv från ett amerikanskt patent (1874)
Exempel på en trimetrisk projektion som visar formen på Bank of China Tower i Hong Kong .
Exempel på dimetrisk projektion i kinesisk konst i en illustrerad utgåva av Romance of the Three Kingdoms, Kina, ca. 1400- talet e.Kr.
Detalj av den ursprungliga versionen av Längs floden Under Qingming-festivalen tillskriven Zhang Zeduan (1085–1145). Observera att bilden växlar fram och tillbaka mellan axonometrisk och perspektivprojektion i olika delar av bilden, och är därmed inkonsekvent.

Begränsningar

I denna ritning är den blå sfären två enheter högre än den röda. Denna skillnad i höjd är dock inte uppenbar om man täcker bildens högra halva.

Penrose -trappan avbildar en trappa som verkar stiga (moturs) eller gå ner (medsols) men ändå bildar en kontinuerlig slinga.

Objekt ritade med parallell projektion verkar inte större eller mindre eftersom de ligger närmare eller längre bort från betraktaren. Även om det är fördelaktigt för arkitektoniska ritningar , där mätningar måste tas direkt från bilden, är resultatet en upplevd förvrängning, eftersom till skillnad från perspektivprojektion är det inte så människans syn eller fotografi normalt fungerar. Det kan också lätt resultera i situationer där djup och höjd är svåra att mäta, som visas i illustrationen till höger.

Denna visuella tvetydighet har utnyttjats i op-art , såväl som "omöjliga objekt"-teckningar. Även om det inte är strikt parallellt, MC Eschers vattenfall ( 1961) en välkänd bild, där en vattenkanal tycks färdas utan hjälp längs en nedåtgående väg, för att sedan paradoxalt nog falla igen när den återvänder till sin källa. Vattnet verkar således inte lyda lagen om energibevarande .

Se även

Projektion (linjär algebra)

Schaum's Outline: Descriptive Geometry , McGraw-Hill, (1 juni 1962), ISBN 978-0070272903
Joseph Malkevitch (april 2003), "Mathematics and Art" , Feature Column Archive , American Mathematical Society
Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek (december 1978), "Planar Geometric Projections and Viewing Transformations", ACM Computing Surveys , 10 (4): 465–502, doi : 10.1145/356744.356750 , S2CID 708008