Orbit ekvation

Inom astrodynamik definierar en omloppsekvation banan för den kretsande kroppen $m_{2}\,\!$ runt den centrala kroppen $m_{1}\,\!$ i förhållande till $m_{1}\,\!$ , utan att ange position som en funktion av tiden. Enligt standardantaganden har en kropp som rör sig under påverkan av en kraft, riktad mot en central kropp, med en storlek omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet (som gravitation), en bana som är en konisk sektion ( dvs cirkulär bana , elliptisk bana , parabolisk bana , hyperbolisk bana eller radiell bana ) med den centrala kroppen belägen vid en av de två härdarna , eller fokus ( Keplers första lag ).

Om den koniska sektionen skär den centrala kroppen, så kan den faktiska banan bara vara delen ovanför ytan, men för den delen gäller fortfarande omloppsekvationen och många relaterade formler, så länge det är ett fritt fall ( viktlöshetssituation ) .

Central, omvänd kvadratisk lagkraft

Betrakta ett tvåkroppssystem som består av en central kropp med massan M och en mycket mindre, kretsande kropp med massan $m$ , och anta att de två kropparna samverkar via en central , omvänd kvadratisk lagkraft (som gravitation ) . I polära koordinater kan omloppsekvationen skrivas som

r={\frac {\ell ^{2}}{m^{2}\mu }}{\frac {1}{1+e \cos \theta }}

var

$r$ är separationsavståndet mellan de två kropparna och
$\theta$ är vinkeln som $\mathbf {r}$ gör med periapsisaxeln (även kallad den sanna anomalien ) .
Parametern $\ell$ är rörelsemängden för den kretsande kroppen kring den centrala kroppen och är lika med ${\displaystyle mr^{2}{\dot {\theta }}} ,$ eller massan multiplicerad med storleken på korsprodukten av de två kropparnas relativa positions- och hastighetsvektorer.
Parametern $\mu$ är konstanten för vilken $\mu /r^{2}$ är lika med accelerationen för den mindre kroppen (för gravitation är $\mu$ standard gravitationsparameter − ${\displaystyle -GM$ ) För en given bana, ju större $\mu$ , desto snabbare rör sig den kretsande kroppen i den: dubbelt så snabbt om attraktionen är fyra gånger så stark.
Parametern $e$ är banans excentricitet och ges av
$e={\sqrt {1+{\frac {2E\ell ^ {2}}{m^{3}\mu ^{2}}}}}$
där $E$ är banans energi.

Ovanstående relation mellan $r$ och $\theta$ beskriver en konisk sektion . Värdet på $e$ styr vilken typ av konisk sektion som omloppsbanan är:

när $e<1$ , är omloppsbanan elliptisk (cirklar är ellipser med ${\displaystyle e=0} )$ ;
när $e=1$ , är omloppsbanan parabolisk ;
när $e>1$ är omloppsbanan hyperbolisk .

Minsta värdet för $r$ i ekvationen är:

r={{\ell ^{2}} \över {m^{2}\mu }}{{1} \over {1+e}}

medan, om

e<1

, är det maximala värdet:

r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1-e}}

Om maximum är mindre än radien av den centrala kroppen, är koniska sektionen en ellips som är helt inuti den centrala kroppen och ingen del av den är en möjlig bana. Om maximum är mer, men minimum är mindre än radien, är en del av banan möjlig:

om energin är icke-negativ (parabolisk eller hyperbolisk bana): rörelsen är antingen borta från centralkroppen eller mot den.
om energin är negativ: rörelsen kan vara först bort från den centrala kroppen, upp till $r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1-e}}$ varefter föremålet faller tillbaka.

Om $r$ blir sådan att den kretsande kroppen går in i en atmosfär, gäller inte längre standardantagandena, som i atmosfäriskt återinträde .

Lågenergibanor

Om den centrala kroppen är jorden, och energin bara är något större än den potentiella energin på jordens yta, då är omloppsbanan elliptisk med excentricitet nära 1 och ena änden av ellipsen strax bortom jordens centrum, och den andra änden strax ovanför ytan. Endast en liten del av ellipsen är tillämplig.

Om den horisontella hastigheten är $v\,\!$ så är periapsisavståndet ${\frac {v^{2}}{2g}}$ . Energin på jordens yta motsvarar energin i en elliptisk bana med $a=R/2\,\!$ (med $R\,\!$ radien för Jorden), som faktiskt inte kan existera eftersom den är en ellips helt under ytan. Energiökningen med ökningen av $a$ är med en hastighet av $2g\,\!$ . Den maximala höjden över banans yta är ellipsens längd, minus $R\,\!$ , minus delen "under" jordens mittpunkt, därav dubbelt så stor ökning som $a \,\!$ minus periapsis-avståndet. Överst ^{[ av vad? ]} den potentiella energin är $g$ gånger denna höjd, och den kinetiska energin är ${\frac {v^{2}}{2}}$ . Detta summerar till den nyss nämnda energiökningen. Ellipsens bredd är 19 minuter ^{[ varför? ]} gånger $v\,\!$ .

Delen av ellipsen ovanför ytan kan approximeras av en del av en parabel, vilket erhålls i en modell där gravitationen antas konstant. Detta bör särskiljas från den paraboliska omloppsbanan i betydelsen astrodynamik, där hastigheten är flykthastigheten .

Se även bana .

Kategorisering av banor

Betrakta banor som vid en punkt är horisontella, nära jordens yta. För ökande hastigheter vid denna punkt är omloppsbanorna följande:

del av en ellips med vertikal huvudaxel, med jordens mitt som det bortre fokus (kastning av en sten, sub-orbital rymdfärd , ballistisk missil )
en cirkel precis ovanför jordens yta ( låg jordomloppsbana )
en ellips med vertikal huvudaxel, med jordens centrum som nära fokus
en parabel
en hyperbel

Observera att i sekvensen ovan ^{[ var? ]} , $h$ , $\epsilon$ och $a$ ökar monotont, men $e$ minskar först från 1 till 0 och ökar sedan från 0 till oändligt. Omkastningen är när jordens mittpunkt ändras från att vara det bortre fokuset till att vara det nära fokuset (det andra fokuset börjar nära ytan och passerar jordens centrum). Vi har

e=\left|{\frac {R}{a}}-1\right|

Om man utökar detta till banor som är horisontella på en annan höjd, och banor av vilka extrapoleringen är horisontell under jordens yta, får vi en kategorisering av alla banor, förutom de radiella banorna, för vilka förresten omloppsekvationen kan inte användas. I denna kategorisering betraktas ellipser två gånger, så för ellipser med båda sidorna ovanför ytan kan man begränsa sig till att ta den sida som är lägre som referenssida, medan för ellipser av vilka endast en sida är ovanför ytan, ta den sidan.

Se även

Anteckningar