Radiell bana

Inom astrodynamik och himlamekanik är en radiell bana en Keplerbana med noll rörelsemängd . Två objekt i en radiell bana rör sig direkt mot eller bort från varandra i en rak linje.

Klassificering

Det finns tre typer av radiella banor (banor).

Radiell elliptisk bana : en bana som motsvarar den del av en degenererad ellips från det ögonblick kropparna berör varandra och rör sig bort från varandra tills de berör varandra igen. Den relativa hastigheten för de två objekten är mindre än flykthastigheten . Detta är en elliptisk bana med semi-mollaxel = 0 och excentricitet = 1. Även om excentriciteten är 1 är detta inte en parabolisk bana. Om restitutionskoefficienten för de två kropparna är 1 (perfekt elastisk) är denna omloppsbana periodisk. Om restitutionskoefficienten är mindre än 1 (oelastisk) är denna omloppsbana icke-periodisk.
Radiell parabolisk bana , en icke-periodisk bana där den relativa hastigheten för de två objekten alltid är lika med flykthastigheten. Det finns två fall: kropparna rör sig bort från varandra eller mot varandra.
Radiell hyperbolisk bana : en icke-periodisk omloppsbana där den relativa hastigheten för de två objekten alltid överstiger flykthastigheten. Det finns två fall: kropparna rör sig bort från varandra eller mot varandra. Detta är en hyperbolisk bana med semi-mollaxel = 0 och excentricitet = 1. Även om excentriciteten är 1 är detta inte en parabolisk bana.

Till skillnad från standardbanor som klassificeras efter deras orbitala excentricitet , klassificeras radiella banor efter deras specifika orbitalenergi , den konstanta summan av den totala kinetiska och potentiella energin, dividerat med den reducerade massan :

\epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{x}}

där x är avståndet mellan massornas mittpunkter, v är den relativa hastigheten och $\mu ={G}\left(m_{1}+m_{2} \right)$ är standardgravitationsparametern .

En annan konstant ges av:

w={\frac {1}{x}}-{\frac {v^{2}}{2\mu }}={\frac { -\epsilon }{\mu }}

För elliptiska banor är w positivt. Det är det omvända av apoapsis-avståndet (maximalt avstånd).
För paraboliska banor är w noll.
För hyperboliska banor är w negativ, det är $\textstyle {\frac {-v_{\infty }^{2}}{2\mu }}$ där $\ textstyle v_{\infty }$ är hastigheten på oändligt avstånd.

Tid som funktion av avstånd

Med tanke på separationen och hastigheten vid varje tidpunkt, och den totala massan, är det möjligt att bestämma positionen vid vilken annan tidpunkt som helst.

Det första steget är att bestämma konstanten w. Använd tecknet w för att bestämma banatypen.

w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}

där $\textstyle x_{0}$ och $\textstyle v_{0}$ är separationen och den relativa hastigheten när som helst.

Parabolisk bana

t(x)={\sqrt {\frac {2x^{3}}{9\mu }}}

där t är tiden från eller till den tidpunkt då de två massorna, om de vore punktmassor, skulle sammanfalla, och x är separationen.

Denna ekvation gäller endast för radiella paraboliska banor, för allmänna paraboliska banor se Barkers ekvation .

Elliptisk bana

t(x,w)={\frac {\arcsin \left({\sqrt {w \,x}}\right)-{\sqrt {w\,x\ (1-w\,x)}}}{\sqrt {2\mu \,w^{3}}}}

där t är tiden från eller fram till den tidpunkt då de två massorna, om de vore punktmassor, skulle sammanfalla, och x är separationen.

Detta är den radiella Kepler-ekvationen .

Se även ekvationer för en fallande kropp .

Hyperbolisk bana

t(x,w)={\frac {{\sqrt {(|w|x)^{2}+|w|x}}-\ln \left({\sqrt {|w|x }}+{\sqrt {1+|w|x}}\right)}{\sqrt {2\mu \,|w|^{3}}}}

där t är tiden från eller fram till den tidpunkt då de två massorna, om de vore punktmassor, skulle sammanfalla, och x är separationen.

Universell form (vilken bana som helst)

Den radiella Kepler-ekvationen kan göras "universell" (tillämplig på alla banor):

t(x,w)=\lim _{u\to w}{ \frac {\arcsin \left({\sqrt {u\,x}}\right)-{\sqrt {u\,x\ (1-u\,x)}}}{\sqrt {2\mu \ ,u^{3}}}}

eller genom att expandera i en effektserie:

t(x,w)={\frac {1}{\sqrt {2\mu }}}\left.\left({\frac {2}{3}} x^{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{5}}wx^{\frac {5}{2}}+{\frac {3}{28}}w^{2 }x^{\frac {7}{2}}+{\frac {5}{72}}w^{3}x^{\frac {9}{2}}+{\frac {35}{704 }}w^{4}x^{\frac {11}{2}}\cdots \right)\right|_{-1<w\cdot x<1}

Det radiella Keplerproblemet (avstånd som funktion av tid)

Problemet med att hitta separationen av två kroppar vid en given tidpunkt, med tanke på deras separation och hastighet vid en annan tidpunkt, är känt som Kepler-problemet . Detta avsnitt löser Kepler-problemet för radiella banor.

Det första steget är att bestämma konstanten $\textstyle w$ . Använd tecknet för $\textstyle w$ för att bestämma omloppstypen.

w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}

Där $\textstyle x_{0}$ och $\textstyle v_{0}$ är separationen och hastigheten när som helst.

Parabolisk bana

x(t)=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{\frac { 1}{3}}

Se även position som funktion av tid i en rak flyktbana .

Universell form (vilken bana som helst)

Två mellanstorheter används: w, och separationen vid tidpunkten t som kropparna skulle ha om de var på en parabolisk bana, sid.

w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{ 2}}{2\mu }}\quad {\text{and}}\quad p=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{\frac { 1}{3}}

Där t är tiden, $x_{0}$ är startpositionen, $v_{0}$ är starthastigheten och $\mu ={G}\left(m_{1}+m_{2}\right)$ .

Den omvända radiella Kepler-ekvationen är lösningen på det radiella Kepler-problemet:

x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\lim _{r\to 0}\left[{\frac {w^ {n-1}p^{n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} r^{n-1}}}\left( r^{n}\left[{\frac {3}{2}}\left(\arcsin \left[{\sqrt {r}}\right]-{\sqrt {rr^{2}}}\right )\right]^{-{\frac {2}{3}}n}\right)\right]\right)

Att utvärdera detta ger:

{\ displaystyle x(t)=p-{\frac {1}{5}}wp^{2}-{\frac {3}{175}}w^{2}p^{3}-{\frac {23 }{7875}}w^{3}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}w^{4}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}w^{ 5}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}w^{6}p^{7}\cdots }

Effektserier kan lätt differentieras term för term. Upprepad differentiering ger formlerna för hastighet, acceleration, ryck, knäpp etc.

Bana inuti en radiell axel

Banan inuti en radiell axel i en enhetlig sfärisk kropp skulle vara en enkel harmonisk rörelse , eftersom gravitationen inuti en sådan kropp är proportionell mot avståndet till mitten. Om den lilla kroppen går in i och/eller lämnar den stora kroppen vid dess yta ändras omloppsbanan från eller till en av de som diskuterats ovan. Till exempel, om axeln sträcker sig från yta till yta är en sluten bana möjlig som består av delar av två cykler av enkel harmonisk rörelse och delar av två olika (men symmetriska) radiella elliptiska banor.

Se även

Cowell, Peter (1993), Lösa Keplers ekvation under tre århundraden, William Bell.

externa länkar

Keplers ekvation i Mathworld [1]