Oprecis sannolikhet

Oprecis sannolikhet generaliserar sannolikhetsteorin för att möjliggöra partiella sannolikhetsspecifikationer och är tillämplig när informationen är knapp, vag eller motstridig, i vilket fall en unik sannolikhetsfördelning kan vara svår att identifiera. Därigenom syftar teorin till att representera den tillgängliga kunskapen mer exakt. Oprecision är användbar för att hantera expertframkallande , eftersom:

Människor har en begränsad förmåga att bestämma sina egna subjektiva sannolikheter och kan upptäcka att de bara kan ge ett intervall.
Eftersom ett intervall är förenligt med en rad åsikter, borde analysen vara mer övertygande för en rad olika personer.

Introduktion

Osäkerhet modelleras traditionellt av en sannolikhetsfördelning , som utvecklats av Kolmogorov , Laplace , de Finetti , Ramsey , Cox , Lindley och många andra. Detta har dock inte enhälligt accepterats av vetenskapsmän, statistiker och sannolikhetsforskare: det har hävdats att viss modifiering eller breddning av sannolikhetsteorin krävs, eftersom man kanske inte alltid kan tillhandahålla en sannolikhet för varje händelse, särskilt när endast liten information eller data finns tillgänglig – ett tidigt exempel på sådan kritik är Booles kritik av Laplaces arbete – eller när vi vill modellera sannolikheter som en grupp håller med om, snarare än en enskild individs.

Den kanske vanligaste generaliseringen är att ersätta en enda sannolikhetsspecifikation med en intervallspecifikation. Nedre och övre sannolikheter , betecknade med ${\underline {P}}(A)$ och ${\overline {P}}(A)$ , eller mer allmänt , lägre och övre förväntningar (förutsättningar), syftar till att fylla denna lucka. En lägre sannolikhetsfunktion är superadditiv men inte nödvändigtvis additiv, medan en övre sannolikhet är subadditiv. För att få en allmän förståelse av teorin, överväg:

specialfallet med ${\underline {P}}(A)={\overline {P}}(A)$ för alla händelser $A$ är motsvarar en exakt sannolikhet
${\underline {P}}(A)=0$ och ${\overline {P}}(A)=1$ för alla icke- triviala händelser representerar ingen begränsning alls för specifikationen av $P(A)$

Vi har då ett flexibelt kontinuum av mer eller mindre precisa modeller däremellan.

Vissa tillvägagångssätt, sammanfattade under namnet nonadditive probabilities , använder direkt en av dessa uppsättningsfunktioner , förutsatt att den andra är naturligt definierad så att ${\underline {P }}(A^{c})=1-{\overline {P}}(A)$ , med $A^{c}$ komplementet till $A$ . Andra relaterade begrepp förstår motsvarande intervall $[{\underline {P}}(A),{\overline {P}}(A)]$ för alla händelser som den grundläggande enheten.

Historia

Idén att använda oprecis sannolikhet har en lång historia. Den första formella behandlingen går tillbaka åtminstone till mitten av artonhundratalet, av George Boole , som syftade till att förena teorierna om logik och sannolikhet. På 1920-talet, i A Treatise on Probability, formulerade och tillämpade Keynes en explicit intervalluppskattningsmetod för sannolikhet. Arbetet med oprecisa sannolikhetsmodeller fortsatte under hela 1900-talet, med viktiga bidrag av Bernard Koopman , CAB Smith , IJ Good , Arthur Dempster , Glenn Shafer , Peter M. Williams, Henry Kyburg , Isaac Levi och Teddy Seidenfeld . I början av 1990-talet började fältet ta fart, med publiceringen av Peter Walleys bok Statistical Reasoning with Imprecise Probabilities (vilket också är där termen "oprecis sannolikhet" kommer från). På 1990-talet sågs också viktiga verk av Kuznetsov och av Weichselberger, som båda använder termen intervallsannolikhet . Walleys teori utvidgar den traditionella subjektiva sannolikhetsteorin via köp- och säljpriser för hasardspel, medan Weichselbergers tillvägagångssätt generaliserar Kolmogorovs axiom utan att påtvinga en tolkning.

Standardkonsistensvillkor relaterar övre och nedre sannolikhetstilldelningar till icke-tomma slutna konvexa uppsättningar av sannolikhetsfördelningar. Därför, som en välkommen biprodukt, ger teorin också ett formellt ramverk för modeller som används i robust statistik och icke-parametrisk statistik . Inkluderat är också koncept baserade på Choquet-integration , och så kallade två-monotone och totalt monotona kapaciteter, som har blivit mycket populära inom artificiell intelligens under namnet (Dempster–Shafer) trosfunktioner . Dessutom finns det en stark koppling till Shafer och Vovks föreställning om spelteoretisk sannolikhet.

Matematiska modeller

Termen "oprecis sannolikhet" är något missvisande eftersom precision ofta förväxlas med noggrannhet, medan en oprecis representation kan vara mer exakt än en falskt exakt representation. I vilket fall som helst verkar termen ha etablerat sig på 1990-talet och täcker ett brett spektrum av förlängningar av sannolikhetsteorin, inklusive :

credal sets , eller uppsättningar av sannolikhetsfördelningar
föreskrifter
Slumpmängdsteori
Dempster–Shafer bevisteori
lägre och övre sannolikheter, eller intervallsannolikheter
trosfunktioner
möjlighet och nödvändighetsåtgärder
lägre och övre previsioner
jämförande sannolikhetsordningar
partiella preferensbeställningar
uppsättningar av önskvärda hasardspel
p-boxar
robusta Bayes-metoder

Tolkning av oprecisa sannolikheter

En sammanslagning av många av de ovan nämnda oprecisa sannolikhetsteorierna föreslogs av Walley, även om detta inte på något sätt är det första försöket att formalisera oprecisa sannolikheter. När det gäller sannolikhetstolkningar är Walleys formulering av oprecisa sannolikheter baserad på den subjektiva varianten av den Bayesianska sannolikhetstolkningen . Walley definierar övre och nedre sannolikheter som speciella fall av övre och nedre previsioner och spelramverket som utvecklats av Bruno de Finetti . Enkelt uttryckt är en beslutsfattares lägre prevision det högsta pris till vilket beslutsfattaren är säker på att han eller hon skulle köpa ett spel, och den övre previsionen är det lägsta pris till vilket beslutsfattaren är säker på att han eller hon skulle köpa motsatsen. av chansningen (vilket motsvarar att sälja den ursprungliga chansningen). Om de övre och nedre villkoren är lika, representerar de tillsammans beslutsfattarens rimliga pris för spelet, det pris till vilket beslutsfattaren är villig att ta vardera sidan av spelandet. Förekomsten av ett rimligt pris leder till exakta sannolikheter.

Tillåtelsen för oprecision, eller ett gap mellan en beslutsfattares övre och nedre previsioner, är den primära skillnaden mellan exakta och oprecisa sannolikhetsteorier. Sådana luckor uppstår naturligt på spelmarknader som råkar vara ekonomiskt illikvida på grund av asymmetrisk information . Denna lucka ges också av Henry Kyburg upprepade gånger för hans intervallsannolikheter, även om han och Isaac Levi också ger andra skäl för intervall, eller uppsättningar av distributioner, som representerar trostillstånd.

Frågor med oprecisa sannolikheter

En fråga med oprecisa sannolikheter är att det ofta finns en oberoende grad av försiktighet eller djärvhet i användningen av ett intervall, snarare än ett bredare eller smalare. Detta kan vara en grad av förtroende, grad av luddigt medlemskap eller tröskel för acceptans. Detta är inte ett lika stort problem för intervall som är lägre och övre gränser härledda från en uppsättning sannolikhetsfördelningar, t.ex. en uppsättning av priors följt av villkorsbestämning på varje medlem av uppsättningen. Det kan dock leda till frågan varför vissa distributioner ingår i uppsättningen av priors och vissa inte.

En annan fråga är varför man kan vara exakt om två tal, en nedre gräns och en övre gräns, snarare än ett enda tal, en punktsannolikhet. Denna fråga kan vara enbart retorisk, eftersom robustheten hos en modell med intervall i sig är större än hos en modell med punktvärderade sannolikheter. Det ger upphov till oro för olämpliga påståenden om precision vid endpoints, såväl som för punktvärden.

En mer praktisk fråga är vilken typ av beslutsteori som kan använda oprecisa sannolikheter. För luddiga åtgärder finns Ronald R. Yagers arbete . För konvexa uppsättningar av distributioner är Levis verk lärorika. Ett annat tillvägagångssätt frågar sig om tröskeln som styr intervallets djärvhet har större betydelse för ett beslut än att bara ta medelvärdet eller använda en Hurwicz- beslutsregel. Andra angreppssätt förekommer i litteraturen.

Se även

externa länkar