Superadditivitet

I matematik är en funktion $f$ superadditiv if

$$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$$

för alla $x$ och $y$ i domänen för $f.$

kallas en sekvens $a_{1},a_{2},\ldots$ superadditiv om den uppfyller olikheten

$$a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}$$

för alla $m$ och $n.$

Termen "superadditiv" används också för funktioner från en boolesk algebra till de reella talen där $P(X\lor Y)\geq P( X)+P(Y),$ såsom lägre sannolikheter .

Exempel på superadditiva funktioner

Kartan $f(x)=x^{2}$ är en superadditiv funktion för icke-negativa reella tal eftersom kvadraten på $x+y$ alltid är större än eller lika med kvadraten på $x$ plus kvadraten på $y,$ för icke-negativa reella tal $x$ och $y$ : $f(x+y)=(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy=f(x)+f(y)+2xy.$

• Determinanten är superadditiv för icke-negativ hermitisk matris , det vill säga om ${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )$ } är $\det(A+B)\geq \det(A)+\det(B).$ -negativ Hermitian sedan Detta följer av Minkowskis determinantsats, som mer generellt säger att $\det (\cdot )^{1/n}$ är superadditiv (motsvarande konkav ) för icke-negativa hermitiska matriser av storlek $n$ : Om $A,B\in { \text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )$ är icke-negativa hermitiska då $\det(A+B)^{1/n}\geq \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}.$
• Horst Alzer bevisade att Hadamards gammafunktion $H(x)$ är superadditiv för alla reella tal $x,y$ med $x,y\geq 1.5031.$
• Ömsesidig information

Egenskaper

Om $f$ är en superadditiv funktion vars domän innehåller , $\displaystyle 0,}$ så är $f(0)\leq 0.$ För att se detta, ta olikheten överst : $f(x)\leq f(x+y)-f(y).$ Därför $f(0)\leq f (0+y)-f(y)=0.$

Det negativa med en superadditiv funktion är subadditiv .

Feketes lemma

Den största anledningen till användningen av superadditiva sekvenser är följande lemma på grund av Michael Fekete .

Lemma: (Fekete) För varje superadditiv sekvens ${2},\ldots ,}$ a_ gränsen $\lim a_{n} /n$ är lika med supremum $\sup a_{n}/n.$ (Gränsen kan vara positiv oändlighet, vilket är fallet med sekvensen $a_{n}=\log n!$ till exempel .)

Analogen till Feketes lemma gäller även för subadditiva funktioner. Det finns tillägg av Feketes lemma som inte kräver definitionen av superadditivitet ovan för att hålla för alla $m$ och $n.$ Det finns också resultat som gör att man kan härleda konvergenshastigheten till den gräns vars existens anges i Feketes lemma om någon form av både superadditivitet och subadditivitet förekommer. En bra beskrivning av detta ämne kan hittas i Steele (1997).

Se även

• Choquet integral
• Inre mått
• Subadditivitet – egenskap hos en funktion där summan av två element i funktionsdomänen är mindre än summan av funktionsvärden Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Sublinjär funktion

Anteckningar

•   György Polya och Gábor Szegö. (1976). Problem och teorem i analys, volym 1 . Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-05672-6 .

Den här artikeln innehåller material från Superadditivity på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .