Choquet integral

En Choquet-integral är en subadditiv eller superadditiv integral skapad av den franske matematikern Gustave Choquet 1953. Den användes från början inom statistisk mekanik och potentialteori , men hittade sin väg in i beslutsteorin på 1980-talet, där den används som ett sätt att mäta den förväntade nyttan av en osäker händelse. Den tillämpas specifikt på medlemsfunktioner och - kapaciteter . I oprecis sannolikhetsteori används Choquet-integralen också för att beräkna den lägre förväntan som induceras av en 2-monotone lägre sannolikhet , eller den övre förväntan som induceras av en 2-alternerande övre sannolikhet .

Att använda Choquet-integralen för att beteckna den förväntade nyttan av trosfunktioner mätt med kapacitet är ett sätt att förena Ellsberg-paradoxen och Allais-paradoxen .

Definition

Följande notation används:

• $S$ – en uppsättning.
• ${\mathcal {F}}$ – en samling av delmängder av $S$ .
• $f:S\to \mathbb {R}$ – en funktion.
• $\nu :{\mathcal {F}}\to \mathbb {R} ^{+}$ – en monoton uppsättningsfunktion .

Antag att $f$ är mätbar med avseende på ${\displaystyle {\mathcal {F}}} ,$ dvs.

$\forall x\in \mathbb {R} \colon \{s\in S\mid f(s)\geq x\ }\in {\mathcal {F}}$

definieras Choquet-integralen av $f$ med avseende på ${\displaystyle \nu } av:$

$(C)\int fd\nu :=\int _{-\infty }^{0}(\nu (\{s|f(s)\geq x\})-\nu (S ))\,dx+\int _{0}^{\infty }\nu (\{s|f(s)\geq x\})\,dx$

där integralerna på höger sida är den vanliga Riemann-integralen (integranderna är integrerbara eftersom de är monotona i $x$ ).

Egenskaper

I allmänhet tillfredsställer inte Choquet-integralen additivitet. Mer specifikt, om $\nu$ inte är ett sannolikhetsmått, kan det gälla att

$\int f\,d\nu +\int g\,d\nu \neq \int (f+g)\,d\nu .$

för vissa funktioner $f$ och $g$ .

Choquet-integralen uppfyller följande egenskaper.

Monotonicitet

Om $f\leq g$ då

$(C)\int f\,d\nu \leq (C)\int g\,d\nu$

Positiv homogenitet

För alla $\lambda \geq 0$ gäller det

$(C)\int \lambda f\,d\nu =\lambda (C)\int f\,d\nu ,$

Komonotontillsats

Om $f,g:S\rightarrow \mathbb {R}$ är sammonotonfunktioner, det vill säga om för alla $s,s'\in S$ det håller det

$(f(s)-f(s'))(g(s)-g(s' ))\geq 0$ .

vilket kan ses som att $f$ och $g$ stiger och faller tillsammans

sedan

$(C)\int \,fd\nu +(C)\int g\,d\nu =(C)\int (f+g)\,d\nu .$

Subadditivitet

Om $\nu$ är 2-alternerande, då

$(C)\int \,fd\nu +(C)\int g\,d\nu \geq (C)\int (f+g)\,d\nu .$

Superadditivitet

Om $\nu$ är 2-monotone, då

$(C)\int \,fd\nu +(C)\int g\,d\nu \leq (C)\int (f+g)\,d\nu .$

Alternativ representation

Låt $G$ beteckna en kumulativ fördelningsfunktion så att $G^{-1}$ är $dH$ integrerbar. Sedan kallas denna formel ofta för Choquet Integral:

$\int _{-\infty }^{\infty }G^{-1}(\alpha )dH(\alpha )=-\int _{-\infty }^{a}H(G(x))dx+ \int _{a}^{\infty }{\hat {H}}(1-G(x))dx,$

där ${\hat {H}}(x)=H(1)-H(1-x)$ .

• välj $H(x):=x$ för att få $\int _{0}^{1}G ^{-1}(x)dx=E[X]$ ,
• välj $H(x):=1_{[\alpha ,x]}$ för att få $\int _{0}^{1}G^{-1}(x)dH(x)=G^{-1}(\alpha )$

Ansökningar

Choquet-integralen användes i bildbehandling, videobehandling och datorseende. Inom beteendebeslutsteorin Amos Tversky och Daniel Kahneman Choquet-integralen och relaterade metoder i sin formulering av kumulativ prospektteori.

Se även

• Icke-linjära förväntningar
• Superadditivitet
• Subadditivitet

Vidare läsning

• Gilboa, I.; Schmeidler, D. (1992). "Additiva representationer av icke-additiva åtgärder och Choquet-integralen". {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp )
•    Även, Y.; Lehrer, E. (2014). "Sönderdelningsintegral: förenande Choquet och de konkava integralerna". Ekonomisk teori . 56 (1): 33–58. doi : 10.1007/s00199-013-0780-0 . MR 3190759 . S2CID 1639979 .