Medlemskapsfunktion (matematik)

Inom matematik är medlemskapsfunktionen för en fuzzy mängd en generalisering av indikatorfunktionen för klassiska mängder . I fuzzy logic representerar den graden av sanning som en förlängning av värderingen . Grader av sanning förväxlas ofta med sannolikheter , även om de är begreppsmässigt distinkta, eftersom luddig sanning representerar medlemskap i vagt definierade uppsättningar, inte sannolikheten för någon händelse eller tillstånd. Medlemskapsfunktioner introducerades av Aliasker Zadeh i den första artikeln om fuzzy sets (1965). Aliasker Zadeh föreslog i sin teori om fuzzy sets att använda en medlemskapsfunktion (med ett intervall som täcker intervallet (0,1)) som verkar på domänen för alla möjliga värden.

Definition

För varje uppsättning ${\displaystyle X} är$ en medlemskapsfunktion på $[0,1]$$\displaystyle X}$ vilken funktion som helst från $X$ till det verkliga enhetsintervallet .

Medlemskapsfunktioner representerar otydliga delmängder av $X$ . Medlemskapsfunktionen som representerar en otydlig mängd ${\tilde {A}}$ betecknas vanligtvis med $\mu _{A}.$ För ett element $x$ av $X$ kallas värdet $\mu _{A}(x)$ medlemskapsgraden för $x}$${\tilde {A}}.$ i den fuzzy uppsättningen . Medlemskapsgraden $\mu _{A}(x)$ kvantifierar graden av medlemskap för elementet $x$ till fuzzy sätt ${\tilde {A}}.$ Värdet 0 betyder att $x$ inte är medlem i den fuzzy uppsättningen; värdet 1 betyder att $x$ är fullständigt medlem i fuzzy-uppsättningen. Värdena mellan 0 och 1 kännetecknar fuzzy medlemmar, som endast delvis tillhör fuzzy set.

Medlemskapsfunktion för en luddig uppsättning

Ibland används en mer allmän definition, där medlemskapsfunktioner tar värden i en godtycklig fast algebra eller struktur $L$ ; vanligtvis krävs att $L$ är åtminstone en poset eller gitter . De vanliga medlemsfunktionerna med värden i [0, 1] kallas då [0, 1]-värderade medlemsfunktioner.

Kapacitet

Se artikeln om Capacity of a set för en närbesläktad definition i matematik.

En tillämpning av medlemskapsfunktioner är som kapacitet i beslutsteori .

I beslutsteori definieras en kapacitet som en funktion, $\nu$ från S , mängden delmängder av någon uppsättning, till $[0,1]$ , så att ${\ displaystyle \nu }$ är set-wise monoton och är normaliserad (dvs $\nu (\emptyset )=0,\nu (\Omega )=1).$ Detta är en generalisering av begreppet sannolikhetsmått , där sannolikhetsaxiomet för räknebar additivitet försvagas. En kapacitet används som ett subjektivt mått på sannolikheten för en händelse, och det " väntade värdet " av ett resultat givet en viss kapacitet kan hittas genom att ta Choquet-integralen över kapaciteten.

Se även

• Defuzzifiering
• Luddig måttteori
• Luddiga setoperationer
• Grovt set

Bibliografi

• Zadeh LA, 1965, "Luddiga uppsättningar". Information och kontroll 8 : 338–353. [1]
• Goguen JA, 1967, " L -fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18 : 145–174

externa länkar

• Otydlig bildbehandling