Multiplikationssats

Inom matematiken är multiplikationssatsen en viss typ av identitet som lyder av många specialfunktioner relaterade till gammafunktionen . För det explicita fallet med gammafunktionen är identiteten en produkt av värden; alltså namnet. De olika relationerna härrör alla från samma underliggande princip; det vill säga relationen för en speciell funktion kan härledas från den för de andra, och är helt enkelt en manifestation av samma identitet i olika skepnader.

Ändlig egenskap

Multiplikationssatsen har två vanliga former. I det första fallet adderas eller multipliceras ett ändligt antal termer för att ge relationen. I det andra fallet adderas eller multipliceras ett oändligt antal termer. Den finita formen förekommer vanligtvis endast för gamma och relaterade funktioner, för vilka identiteten följer av en p-adisk relation över ett finit fält . Till exempel följer multiplikationssatsen för gammafunktionen från Chowla–Selbergs formel , som följer av teorin om komplex multiplikation . De oändliga summorna är mycket vanligare och följer av karakteristiska nollrelationer på den hypergeometriska serien.

Följande tabeller de olika utseenden av multiplikationssatsen för finita karaktäristik; de karakteristiska nollrelationerna ges längre ner. I alla fall n och k icke-negativa heltal. För specialfallet n = 2 kallas satsen vanligen för dupliceringsformeln .

Gammafunktion – Legendreformel

Dupliceringsformeln och multiplikationssatsen för gammafunktionen är de prototypiska exemplen. Dupliceringsformeln för gammafunktionen är

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\ Gamma (2z).$

Det kallas också Legendre-dupliceringsformeln eller Legendre-relationen , för att hedra Adrien-Marie Legendre . Multiplikationssatsen är

${ \displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\ cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\;k^{\frac {1 -2kz}{2}}\;\Gamma (kz)}$

för heltal k ≥ 1, och kallas ibland Gauss multiplikationsformel , för att hedra Carl Friedrich Gauss . Multiplikationssatsen för gammafunktionerna kan förstås som ett specialfall, för den triviala Dirichlet-karaktären , av Chowla–Selberg-formeln .

Polygammafunktion, övertonstal

Polygammafunktionen är den logaritmiska derivatan av gammafunktionen, och därmed blir multiplikationssatsen additiv istället för multiplikativ :

$k^{m}\psi ^{(m-1)}( kz)=\summa _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)$

för $m>1$ och för $m=1$ har man digammafunktionen :

$k\left[\psi (kz)-\log(k)\right]=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k }}\höger).$

Polygamma-identiteterna kan användas för att erhålla en multiplikationssats för övertonstal .

Hurwitz zeta funktion

För Hurwitz generaliserar zeta-funktionen polygammafunktionen till icke-heltalsordningar, och lyder således en mycket liknande multiplikationssats:

$k^{s}\zeta (s)=\summa _{n=1}^{k}\zeta \left (s,{\frac {n}{k}}\right),$

där $\zeta (s)$ är Riemann zeta-funktionen . Detta är ett specialfall av

$k^{s}\,\zeta (s,kz)=\summa _{n=0 }^{k-1}\zeta \left(s,z+{\frac {n}{k}}\right)$

och

$\zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{\infty }{s+n-1 \choose n}(1-k)^{n}z^{n}\zeta (s+n,z).$

Multiplikationsformler för icke-huvudtecken kan ges i form av Dirichlet L-funktioner .

Periodisk zeta-funktion

Den periodiska zetafunktionen definieras ibland som

$F(s;q)=\summa _{m=1}^ {\infty }{\frac {e^{2\pi imq}}{m^{s}}}=\operatörsnamn {Li} _{s}\left(e^{2\pi iq}\right)$

där Li _s ( z ) är polylogaritmen . Den följer dupliceringsformeln

$2^{-s}F(s;q)=F\left(s,{\frac {q}{2}}\right)+F\left(s,{\frac {q+1} {2}}\höger).$

Som sådan är det en egenvektor för Bernoulli-operatorn med egenvärde 2 ^{− s} . Multiplikationssatsen är

$k^{-s}F(s;kq)=\summa _{n=0}^{k-1}F\left(s,q+{\frac {n}{k}}\right) .$

Den periodiska zeta-funktionen förekommer i reflektionsformeln för Hurwitz zeta-funktionen, vilket är anledningen till att relationen som den lyder, och Hurwitz zeta-relationen, skiljer sig åt genom utbytet av s → − s .

Bernoulli -polynomen kan erhållas som ett begränsande fall av den periodiska zeta-funktionen, och tar s för att vara ett heltal, och multiplikationssatsen där kan härledas från ovanstående. På liknande sätt leder substituering av q = log z till multiplikationssatsen för polylogaritmen.

Polylogaritm

Dupliceringsformeln tar formen

$2^{1-s}\operatörsnamn {Li} _{s}(z^{2})=\operatörsnamn {Li} _{s}(z)+\operatörsnamn {Li} _{s}( -z).$

Den allmänna multiplikationsformeln är i form av en Gausssumma eller diskret Fouriertransform :

$k^{1-s}\operatörsnamn {Li} _{s}(z^{k})=\summa _{n=0}^{k-1}\operatörsnamn {Li} _{s} \left(ze^{i2\pi n/k}\höger).$

Dessa identiteter följer av den på den periodiska zeta-funktionen, med z = log q .

Kummers funktion

Dupliceringsformeln för Kummers funktion är

$2^{1-n}\Lambda _{n}(-z^{2})=\ Lambda _{n}(z)+\Lambda _{n}(-z)$

och liknar alltså den för polylogaritmen, men vriden av i .

Bernoulli polynom

För Bernoullis polynom gavs multiplikationssatserna av Joseph Ludwig Raabe 1851:

$k^{1-m}B_{m}(kx)=\summa _{n=0 }^{k-1}B_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)$

och för Eulerpolynomen ,

$k^{-m}E_{m} (kx)=\summa _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}E_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad { \mbox{ för }}k=1,3,\dots$

och

$k^{-m}E_{m}(kx)={\frac {-2}{m+1}}\summa _{n=0}^{k-1}(-1)^{ n}B_{m+1}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ för }}k=2,4,\dots .$

Bernoulli-polynomen kan erhållas som ett specialfall av Hurwitz zeta-funktionen, och därmed följer identiteterna därifrån.

Bernoulli karta

Bernoulli -kartan är en viss enkel modell av ett dissipativt dynamiskt system , som beskriver effekten av en skiftoperator på en oändlig sträng av myntflikar ( Cantor-uppsättningen) . Bernoulli-kartan är en ensidig version av den närbesläktade Bakers kartan . Bernoulli-kartan generaliserar till en k-adisk version, som verkar på oändliga strängar av k -symboler: detta är Bernoulli-schemat . Transferoperatorn ${\mathcal {L}}_{k}$ som motsvarar skiftoperatorn på Bernoulli-schemat ges av

$[{\mathcal {L}}_{k}f](x)={\frac {1 }{k}}\summa _{n=0}^{k-1}f\left({\frac {x+n}{k}}\right)$

Kanske inte överraskande, egenvektorerna för denna operator ges av Bernoulli-polynomen. Det vill säga, man har det

${\mathcal {L}}_{k}B_{m}={\frac {1}{k^{m}}}B_{m}$

Det är det faktum att egenvärdena $k^{-m}<1$ som markerar detta som ett dissipativt system: för ett icke-dissipativt måttbevarande dynamiskt system ligger egenvärdena för överföringsoperatorn på enhetscirkeln.

Man kan konstruera en funktion som lyder multiplikationssatsen från vilken helt multiplikativ funktion som helst . Låt $f(n)$ vara totalt multiplikativ; det vill säga $f(mn)=f(m)f(n)$ för alla heltal m , n . Definiera dess Fourier-serie som

$g(x)=\summa _{n=1}^{\infty }f(n)\exp (2\pi inx)$

Om man antar att summan konvergerar, så att g ( x ) existerar, har man då att den lyder multiplikationssatsen; det är det

${\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1 }g\left({\frac {x+n}{k}}\right)=f(k)g(x)$

Det vill säga, g ( x ) är en egenfunktion till Bernoulli överföringsoperator, med egenvärde f ( k ). Multiplikationssatsen för Bernoullis polynom följer sedan som ett specialfall av multiplikationsfunktionen $f(n)=n^{-s}$ . Dirichlet -tecken är fullt multiplikativa och kan därför lätt användas för att erhålla ytterligare identiteter av denna form.

Karakteristisk noll

Multiplikationssatsen över ett fält med karakteristisk noll sluter inte efter ett ändligt antal termer, utan kräver en oändlig serie för att uttryckas. Exempel inkluderar det för Bessel-funktionen $J_{\nu }(z)$ :

$\lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\summa _{n=0}^ {\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {(1-\lambda ^{2})z}{2}}\right)^{n}J_{\nu + n}(z),$

där $\lambda$ och $\nu$ kan tas som godtyckliga komplexa tal. Sådana karaktäristiska-noll-identiteter följer i allmänhet från en av många möjliga identiteter på den hypergeometriska serien.

Anteckningar

• Milton Abramowitz och Irene A. Stegun, red. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables , (1972) Dover, New York. (Multiplikationssatser listas individuellt kapitel för kapitel)
• C. Truesdell, " Om additions- och multiplikationssatserna för specialfunktionerna ", Proceedings of the National Academy of Sciences, Mathematics, (1950) s. 752–757.