Gauss fortsatta fraktion

I komplex analys är Gauss fortsatta fraktion en speciell klass av fortsatta fraktioner som härrör från hypergeometriska funktioner . Det var en av de första analytiska fortsatta fraktionerna som matematiken känner till, och den kan användas för att representera flera viktiga elementära funktioner , såväl som några av de mer komplicerade transcendentala funktionerna .

Historia

Lambert publicerade flera exempel på fortsatta bråk i denna form 1768, och både Euler och Lagrange undersökte liknande konstruktioner, men det var Carl Friedrich Gauss som använde den algebra som beskrivs i nästa avsnitt för att härleda den allmänna formen av denna fortsatta bråkdel, 1813.

Även om Gauss gav formen av denna fortsatta fraktion, gav han inget bevis på dess konvergensegenskaper. Bernhard Riemann och LW Thomé erhöll partiella resultat, men det sista ordet om regionen där denna fortsatta fraktion konvergerar gavs inte förrän 1901, av Edward Burr Van Vleck .

Härledning

Låt $f_{0},f_{1},f_{2},\dots$ vara en sekvens av analytiska funktioner så att

$f_{i-1}-f_{i}=k_{i}\,z\,f_{i+1}$

för alla $i>0$ , där varje $k_{i}$ är en konstant.

Sedan

${\frac {f_{i -1}}{f_{i}}}=1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}},{\text{ och så }}{\frac { f_{i}}{f_{i-1}}}={\frac {1}{1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}}}}$

Inställning $g_{i}=f_{i}/f_{i-1},$

$g_{i}={\frac {1}{1+k_{i}zg_{i+1}}},$

Så

$g_{1}={\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+k_{1}zg_{2}}}={\cfrac {1 }{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+k_{2}zg_{3}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{ 1+{\cfrac {k_{2}z}{1+k_{3}zg_{4}}}}}}}=\cdots .\$

Att upprepa detta i oändlighet producerar det fortsatta fraktionsuttrycket

${\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{ 1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+{\cfrac {k_{3}z}{1+{}\ddots }}}}} }}}$

I Gauss fortsatta bråktal är funktionerna $f_{i}$ hypergeometriska funktioner av formen ${\displaystyle {}_{0}F_{1}} ,$ 1 $\displaystyle {}_{ 1}F_{1}}$ och ${}_{2}F_{1}$ och ekvationerna $f_{ i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}$ uppstår som identiteter mellan funktioner där parametrarna skiljer sig åt med heltalsmängder. Dessa identiteter kan bevisas på flera sätt, till exempel genom att utöka serierna och jämföra koefficienter, eller genom att ta derivatan på flera sätt och eliminera den från de genererade ekvationerna.

₀ Serien F ₁

Det enklaste fallet handlar om

$\,_{0}F_{1}(a;z)=1+{\frac {1}{a\,1!}}z+{\frac {1}{a(a+1)\ ,2!}}z^{2}+{\frac {1}{a(a+1)(a+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .$

Börjar med identiteten

$\,_{0}F_{1}(a -1;z)-\,_{0}F_{1}(a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\,_{0}F_{1}(a+ 1;z),$

vi får ta

$f_{i}={}_{0}F_{1}(a +i;z),\,k_{i}={\tfrac {1}{(a+i)(a+i-1)}},$

ger

${\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{\,_{0}F_{1}(a;z) }}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {1}{a(a+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+ 1)(a+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+2)(a+3)}}z}{1+{}\ddots }}}} }}}}$

eller

${\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{a\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1 }{a+{\cfrac {z}{(a+1)+{\cfrac {z}{(a+2)+{\cfrac {z}{(a+3)+{}\ddotter }}}} }}}}.$

Denna expansion konvergerar till den meromorfa funktionen definierad av förhållandet mellan de två konvergenta serierna (förutsatt att a varken är noll eller ett negativt heltal).

Serien ₁ F ₁

Nästa fall handlar om

${}_{1}F_{1}(a;b;z)=1+{\frac {a}{b\,1!}}z+{\frac {a(a+ 1)}{b(b+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2) \,3!}}z^{3}+\cdots$

för vilka de två identiteterna

$\,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)$

$\,_{1}F_{1} (a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\,_{1}F_ {1}(a+1;b+1;z)$

används växelvis.

Låta

$f_{0}(z)=\,_{1}F_{1}(a;b;z),$

$f_{1}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z),$

$f_{2}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+ 2;z),$

$f_{3}(z)=\,_{1}F_{1}(a +2;b+3;z),$

$f_{4}(z)=\,_{1}F_ {1}(a+2;b+4;z),$

etc.

Detta ger $f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}$ där $k_{1}={\tfrac {ab}{b(b+1)}},k_{2}={\tfrac {a+1}{(b+ 1)(b+2)}},k_{3}={\tfrac {ab-1}{(b+2)(b+3)}},k_{4}={\tfrac {a+2} {(b+3)(b+4)}}$ , producerar

${\frac {{} _{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+ {\cfrac {{\frac {ab}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z }{1+{\cfrac {{\frac {ab-1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+2}{(b+ 3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}$

eller

${\frac {{}_{1}F_{1}(a+ 1;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {(ab)z}{( b+1)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+2)+{\cfrac {(ab-1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a+2) z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}$

Liknande

${\frac {{}_{ 1}F_{1}(a;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac { {\frac {a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {ab-1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+ {\cfrac {{\frac {a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {ab-2}{(b+3)(b +4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}$

eller

${\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1; z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {az}{(b+1)+{\cfrac { (ab-1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+3)+{\cfrac {(ab-2)z}{(b+4)+ {}\ddots }}}}}}}}}}$

Eftersom ${}_{1}F_{1}(0;b;z)=1$ ställer du in a till 0 och ersätter b + 1 med b i den första fortsatt bråk ger ett förenklat specialfall:

${}_{1}F_{1}(1;b;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{b+{\cfrac {z }{(b+1)+{\cfrac {-bz}{(b+2)+{\cfrac {2z}{(b+3)+{\cfrac {-(b+1)z}{(b +4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}$

Serien ₂ F ₁

Det sista fallet handlar om

${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c\,1!}}z+{\frac {a(a+1) b(b+1)}{c(c+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+ 2)}{c(c+1)(c+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .\,$

Återigen används två identiteter växelvis.

$\,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}( a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+ 1;c+1;z),$

$\,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-c+1)az}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z).$

Dessa är i huvudsak samma identitet med a och b utbytta.

Låta

$f_{0}(z)=\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),$

$f_{1}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b ;c+1;z),$

$f_{2}(z)=\,_{2 }F_{1}(a+1,b+1;c+2;z),$

$f_{3}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+1;c+3;z),$

$f_{4}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+2;c+4;z),$

etc.

Detta ger $f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}$ där $k_{1}={\tfrac {( ac)b}{c(c+1)}},k_{2}={\tfrac {(bc-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}},k_{ 3}={\tfrac {(ac-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}},k_{4}={\tfrac {(bc-2)(a+2) )}{(c+3)(c+4)}}$ , producerar

${\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1 ;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(ac)b}{ c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(bc-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+ {\cfrac {{\frac {(ac-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(bc-2) (a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}$

eller

${\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{c{}_{2}F_{1}(a, b;c;z)}}={\cfrac {1}{c+{\cfrac {(ac)bz}{(c+1)+{\cfrac {(bc-1)(a+1)z}{ (c+2)+{\cfrac {(ac-1)(b+1)z}{(c+3)+{\cfrac {(bc-2)(a+2)z}{(c+4) )+{}\ddots }}}}}}}}}}$

Eftersom ${}_{2}F_{1}(0,b;c;z)=1$ ställer du in a till 0 och ersätter c + 1 med c ger ett förenklat specialfall av den fortsatta fraktionen:

${}_{2}F_{1}(1,b;c ;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{c+{\cfrac {(bc)z}{(c+1)+{\cfrac {-c(b+1)z }{(c+2)+{\cfrac {2(bc-1)z}{(c+3)+{\cfrac {-(c+1)(b+2)z}{(c+4) +{}\ddots }}}}}}}}}}}}$

Konvergensegenskaper

I det här avsnittet exkluderas de fall där en eller flera av parametrarna är ett negativt heltal, eftersom i dessa fall antingen de hypergeometriska serierna är odefinierade eller att de är polynom så att den fortsatta bråkdelen slutar. Andra triviala undantag är också undantagna.

I fallen ${}_{0}F_{1}$ och ${}_{1}F_{1}$ konvergerar serien överallt så att bråket på vänster sida är en meromorf funktion . De fortsatta bråken på höger sida kommer att konvergera enhetligt på alla slutna och avgränsade mängder som inte innehåller några poler av denna funktion.

I fallet ${}_{2}F_{1}$ är konvergensradien för serien 1 och bråkdelen på vänster sida är en meromorf funktion inom denna cirkel. De fortsatta bråken på höger sida kommer att konvergera till funktionen överallt i denna cirkel.

Utanför cirkeln representerar den fortsatta bråkdelen den analytiska fortsättningen av funktionen till det komplexa planet med den positiva reella axeln, från +1 till punkten vid oändligheten borttagen. I de flesta fall +1 en förgreningspunkt och linjen från +1 till positiv oändlighet är en förgrening för denna funktion. Den fortsatta fraktionen konvergerar till en meromorf funktion på denna domän, och den konvergerar enhetligt på alla slutna och avgränsade delmängder av denna domän som inte innehåller några poler.

Ansökningar

₀ Serien F ₁

Vi har

$\cosh(z)=\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\ tfrac {z^{2}}{4}}),$

$\sinh(z)=z\,_{0}F_ {1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),$

så

$\tanh(z)={\frac {z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}} )}{\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}}={\cfrac {z/2 }{{\tfrac {1}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {3}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z ^{2}}{4}}{{\tfrac {5}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {7}{2}}+ {}\ddots }}}}}}}}={\cfrac {z}{1+{\cfrac {z^{2}}{3+{\cfrac {z^{2}}{5+{\ cfrac {z^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}.$

Denna speciella expansion är känd som Lamberts fortsatta fraktion och går tillbaka till 1768.

Det följer lätt av det

$\tan(z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{3-{\cfrac {z^{2}}{5-{\cfrac {z^ {2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}.$

Expansionen av tanh kan användas för att bevisa att e ⁿ är irrationellt för varje heltal n (vilket tyvärr inte räcker för att bevisa att e är transcendentalt ). Utvidgningen av solbränna användes av både Lambert och Legendre för att bevisa att π är irrationell .

Bessel -funktionen $J_{\nu }$ kan skrivas

$J_{\nu }(z)={\frac {({\ tfrac {1}{2}}z)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\,_{0}F_{1}(\nu +1;-{\frac {z^ {2}}{4}}),$

varav det följer

${\frac {J_{\nu}(z)}{J_{\nu -1}(z)}}={\cfrac {z}{2\nu -{\cfrac {z^{2} }{2(\nu +1)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +2)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +3)-{} \ddots }}}}}}}}.$

Dessa formler är också giltiga för varje komplex z .

Serien ₁ F ₁

Eftersom $e^{z}={}_{1}F_{1}(1;1;z)$ , $1/e^{z}=e^{-z}$

$e^{z}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {- z}{1+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {-z}{3+{\cfrac {2z}{4+{\cfrac {-2z}{5+{}\ddots }}} }}}}}}}}$

$e^{z}=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {-z}{2+{\cfrac {z}{3+{\cfrac {-2z}{4+{ \cfrac {2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}.$

Med viss manipulation kan detta användas för att bevisa den enkla fortsatta bråkrepresentationen av e ,

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1 }{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}$

Felfunktionen erf ( z ) , given av

$\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0} ^{z}e^{-t^{2}}\,dt,$

kan också beräknas i termer av Kummers hypergeometriska funktion:

$\operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}\,_{1}F_{1}(1; {\scriptstyle {\frac {3}{2}}};z^{2}).$

Genom att tillämpa den fortsatta bråkdelen av Gauss kan en användbar expansion som gäller för varje komplext tal z erhållas:

${\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{z^{2}}\operatörsnamn {erf} (z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z ^{2}}{{\frac {3}{2}}+{\cfrac {z^{2}}{{\frac {5}{2}}-{\cfrac {{\frac {3}{ 2}}z^{2}}{{\frac {7}{2}}+{\cfrac {2z^{2}}{{\frac {9}{2}}-{\cfrac {{\frac {5}{2}}z^{2}}{{\frac {11}{2}}+{\cfrac {3z^{2}}{{\frac {13}{2}}-{\cfrac {{\frac {7}{2}}z^{2}}{{\frac {15}{2}}+-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}.$

Ett liknande argument kan göras för att härleda fortsatta bråkexpansioner för Fresnel-integralerna , för Dawson-funktionen och för den ofullständiga gammafunktionen . En enklare version av argumentet ger två användbara fortsatta bråkexpansioner av exponentialfunktionen .

Serien ₂ F ₁

Från

$(1-z)^{-b}={}_{1} F_{0}(b;;z)=\,_{2}F_{1}(1,b;1;z),$

$(1-z)^{-b}={\cfrac {1}{1+{\ cfrac {-bz}{1+{\cfrac {(b-1)z}{2+{\cfrac {-(b+1)z}{3+{\cfrac {2(b-2)z}{ 4+{}\ddots }}}}}}}}}}$

Det är lätt visat att Taylor-seriens expansion av arctan z i en omgivning av noll ges av

$\arctan z=zF({\scriptstyle {\frac {1}{2}}},1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};-z^{2}).$

Den fortsatta fraktionen av Gauss kan appliceras på denna identitet, vilket ger expansionen

$\arctan z={\cfrac {z} {1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\ cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}},$

som konvergerar till huvudgrenen av den inversa tangentfunktionen på det skurna komplexa planet, med snittet som sträcker sig längs den imaginära axeln från i till punkten i oändligheten och från − i till punkten i oändligheten.

Denna speciella fortsatta bråkdel konvergerar ganska snabbt när z = 1, vilket ger värdet π/4 till sju decimaler med den nionde konvergenten. Motsvarande serie

${\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}} }}}}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\pm \cdots$

konvergerar mycket långsammare, med mer än en miljon termer som behövs för att ge sju decimaler med noggrannhet.

fortsatta bråkexpansioner för den naturliga logaritmen , arcsinfunktionen och den generaliserade binomialserien .

Anteckningar

•   Jones, William B.; Thron, WJ (1980). Fortsättning Bråk: Teori och tillämpningar . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. s. 198–214 . ISBN 0-201-13510-8 .
• 
    Wall, HS (1973). Analytisk teori om fortsatta bråk . Chelsea Publishing Company . s. 335–361. ISBN 0-8284-0207-8 . (Detta är ett omtryck av volymen som ursprungligen publicerades av D. Van Nostrand Company, Inc. 1948.)
• Weisstein, Eric W. "Gauss fortsatta fraktion" . MathWorld .