Engels teorem

Inom representationsteorin , en gren av matematiken, säger Engels sats att en ändlig dimensionell Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ är en nilpotent Lie-algebra om och endast om för varje $X\ i {\mathfrak {g}}$ , den angränsande kartan

$\operatorname {ad} (X)\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},$

ges av ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)(Y)=[X,Y]} ,$ är en nilpotent endomorfism på ${\mathfrak {g}}$ ; dvs $\operatorname {ad} (X)^{k}=0$ för vissa k . Det är en följd av satsen, även kallad Engels sats, som säger att om en Lie-algebra av matriser består av nilpotenta matriser, så kan alla matriserna samtidigt föras till en strikt övre triangulär form . Observera att om vi bara har en Lie-algebra av matriser som är nilpotent som en Lie-algebra , så följer inte denna slutsats (dvs. den naiva ersättningen i Lies sats av "lösbar" med "nilpotent" och "övre triangulär" med "strikt övre triangulär", är falsk; detta misslyckas redan för den endimensionella Lie-subalgebra av skalära matriser).

Satsen är uppkallad efter matematikern Friedrich Engel , som skissade ett bevis på det i ett brev till Wilhelm Killing daterat den 20 juli 1890 ( Hawkins 2000 , s. 176). Engels elev KA Umlauf gav ett fullständigt bevis i sin avhandling från 1891, omtryckt som ( Umlauf 2010 ) .

Uttalanden

Låt ${\mathfrak {gl}}(V)$ vara Lie-algebra för endomorfismerna för ett ändligt dimensionellt vektorrum V och ${\mathfrak { g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)$ en subalgebra. Då säger Engels teorem att följande är ekvivalenta:

1. Varje $X\in {\mathfrak {g}}$ är en nilpotent endomorfism på V .
2. Det finns en flagga $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0 ,\,\operatorname {codim} V_{i}=i$ så att ${\mathfrak {g}}\cdot V_{i}\subset V_{i+1}$ ; dvs elementen i ${\mathfrak {g}}$ är samtidigt strikt övre trianguliserbara.

Observera att inget antagande om det underliggande basfältet krävs.

Vi noterar att påstående 2. för olika ${\mathfrak {g}}$ och V är ekvivalent med påståendet

• För varje ändligt dimensionellt vektorrum som inte är noll och en subalgebra ${\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)$ finns det en vektor som inte är noll i V så att $X(v)=0$ för varje $X\in {\mathfrak {g}}.$

Detta är formen av satsen bevisad i #Proof . (Detta påstående är trivialt ekvivalent med påstående 2 eftersom det tillåter en att induktivt konstruera en flagga med den nödvändiga egenskapen.)

sägs en Lie-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}} vara$ nilpotent om den lägre centrala serien av den försvinner i ett ändligt steg; dvs för ${\displaystyle C^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}},C^{i} {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},C^{i-1}{\mathfrak {g}}]} = ( i +1)-te potensen av g {$ \ displaystyle { $mathfrak {g}}}$ , det finns något k så att $C^{k}{\mathfrak {g}}=0$ . Då antyder Engels sats följande sats (även kallad Engels sats): när ${\mathfrak {g}}$ har en ändlig dimension,

• ${\mathfrak {g}}$ är nilpotent om och endast om $\operatorname {ad} (X)$ är nilpotent för varje $X\in {\ mathfrak {g}}$ .

Faktum är att om $\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})$ består av nilpotenta operatorer, så med 1. $\Leftrightarrow$ 2. tillämpas på ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})} , det finns en$ flagga ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset \ cdots \supset {\mathfrak {g}}_{n}=0$ så att $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_ {i}]\subset {\mathfrak {g}}_{i+1}$ . Eftersom ${\displaystyle C^{i}{\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {g}}_{i}},$ innebär detta ${\mathfrak {g}}$ är nilpotent. (Det omvända följer direkt av definitionen.)

Bevis

Vi bevisar följande form av satsen: om ${\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)$ är en Lie-subalgebra så att varje ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}} är$ nilpotent endomorfism och om en V har en positiv dimension så finns det en vektor som inte är noll i V så att $X(v)=0$ för varje X i ${\mathfrak {g}}$ .

Beviset är genom induktion på dimensionen ${\mathfrak {g}}$ och består av några steg. (Observera att strukturen på beviset är mycket lik den för Lies sats , som avser en lösbar algebra.) Grundfallet är trivialt och vi antar att dimensionen av ${\mathfrak {g}}$ är positiv.

Steg 1 : Hitta en ideal ${\mathfrak {h}}$ av kodimension ett i ${\mathfrak {g}}$ .

Detta är det svåraste steget. Låt ${\mathfrak {h}}$ vara en maximal (riktig) subalgebra av ${\displaystyle {\mathfrak {g}}} ,$ som existerar genom ändlig dimensionalitet. Vi hävdar att det är ett ideal av kodimension ett. För varje $X\in {\mathfrak {h}}$ är det lätt att kontrollera att (1) $\operatorname {ad} (X)$ inducerar en linjär endomorfism ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} och (2) denna inducerade$ karta är nilpotent (i själva verket är $\operatorname {ad} (X)$ nilpotent eftersom $X$ är nilpotent; se Jordan–Chevalley-nedbrytning#Lie algebras ). Således, genom induktiv hypotes applicerad på Lie-subalgebra av ${\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}})$ av $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})$ , det finns en vektor som inte är noll v in ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ så att $\operatorname {ad} (X)(v)=0$ för varje $X\in {\mathfrak {h}}$ . Det vill säga, om $v=[Y]$ för vissa Y in ${\mathfrak {g}}$ men inte i ${\mathfrak {h}}$ , sedan $[X,Y]=\operatörsnamn {ad} (X)(Y)\in {\mathfrak {h}}$ för varje $X\in {\mathfrak {h}}$ . Men sedan delrymden ${\mathfrak {h}}'\subset {\mathfrak {g}}$ omspännd av ${\mathfrak {h}}$ och Y är en Lie-subalgebra i vilken ${\mathfrak {h}}$ är ett ideal för kodimension ett. Därför, med maximalitet, ${\mathfrak {h}}'={\mathfrak {g}}$ . Detta bevisar påståendet.

Steg 2 : Låt $W=\{v\in V|X(v)=0,X\in {\mathfrak {h}}\}$ . Sedan stabiliserar ${\mathfrak {g}}$ W ; dvs $X(v)\in W$ för varje $X\in {\mathfrak {g}},v\in W$ .

För $Y$ i ${\mathfrak {g}}$ och $X$ i ${\mathfrak {h}}$ har vi: $X(Y(v))=Y(X(v))+[X,Y](v)=0$ eftersom ${\mathfrak {h}}$ är ett ideal och så $[X,Y]\in {\mathfrak {h}}$ . Således $Y(v)$ i W .

Steg 3 : Avsluta beviset genom att hitta en vektor som inte är noll som dödas av ${\mathfrak {g}}$ .

Skriv ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+L$ där L är ett endimensionellt vektorunderrum. Låt Y vara en vektor som inte är noll i L och v en vektor som inte är noll i W . Nu $Y$ en nilpotent endomorfism (genom hypotes) och så $Y^{k}(v)\neq 0,Y^ {k+1}(v)=0$ för några k . Då $Y^{k}(v)$ en obligatorisk vektor eftersom vektorn ligger i W i steg 2. $\square$

Se även

• Lie's teorem
• Heisenberggruppen

Anförda verk

•   Erdmann, Karin ; Wildon, Mark (2006). Introduktion till Lie Algebras (1:a uppl.). Springer. ISBN 1-84628-040-0 .
•     Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Representationsteori. En första kurs . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 .
•    Hawkins, Thomas (2000), Emergence of the theory of Lie groups , Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98963-1 , MR 1771134
• Hochschild, G. (1965). Lögngruppernas struktur . Holden dag.
• Humphreys, J. (1972). Introduktion till lögnalgebror och representationsteori . Springer.
•   Umlauf, Karl Arthur (2010) [Först publicerad 1891], Über Die Zusammensetzung Der Endlichen Continuierlichen Transformationsgruppen, Insbesondre Der Gruppen Vom Range Null , Inaugural-Dissertation, Leipzig (på tyska), Nabu Press, ISBN 978-1-18891-58 3