Newtonpolynom

Inom det matematiska området för numerisk analys är ett Newtonpolynom , uppkallat efter sin uppfinnare Isaac Newton , ett interpolationspolynom för en given uppsättning datapunkter. Newtonpolynomet kallas ibland Newtons dividerade differensinterpolationspolynom eftersom koefficienterna för polynomet beräknas med hjälp av Newtons dividerade differensmetoder .

Definition

Givet en uppsättning av k + 1 datapunkter

$(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_ {j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})$

där inga två x _j är lika, är Newtoninterpolationspolynomet en linjär kombination av Newtonbaspolynom

$N(x):=\summa _{j=0}^{k}a_{j}n_{j}(x)$

med Newtonbaspolynomen definierade som

$n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{ i})$

för j > 0 och $n_{0}(x)\equiv 1$ .

Koefficienterna definieras som

$a_{j}:=[y_{0},\ldots ,y_{j}]$

var

$[y_{0},\ldots ,y_{j}]$

är notationen för uppdelade skillnader .

Således kan Newtonpolynomet skrivas som

$N(x)=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k }](x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{k-1}).$

Newtons formel för framåtdelad skillnad

Newtonpolynomet kan uttryckas i en förenklad form när $x_{0},x_{1},\dots ,x_{k}$ är ordnade i följd med lika mellanrum. Vi introducerar notationen $h=x_{i+1}-x_{i}$ för varje $i=0,1, \dots ,k-1$ och $x=x_{0}+sh$ , skillnaden $x-x_{i}$ kan skrivas som $(si)h$ . Så Newtonpolynomet blir

${\begin{aligned}N(x)&=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}]sh+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k} ]s(s-1)\cdots (s-k+1){h}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{k}s(s-1)\cdots (s- i+1){h}^{i}[y_{0},\ldots ,y_{i}]\\&=\sum _{i=0}^{k}{s \choose i}i!{ h}^{i}[y_{0},\ldots ,y_{i}].\end{aligned}}$

Detta kallas Newton forward divided difference formel .

Newton bakåtdelad skillnadsformel

Om noderna ordnas om som ${x}_{k},{x}_{k-1},\dots ,{x}_{0}$ , Newtonpolynomet blir

$N(x)=[y_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}](x-{x}_{k})+\cdots +[ {y}_{k},\ldots ,{y}_{0}](x-{x}_{k})(x-{x}_{k-1})\cdots (x-{x }_{1}).$

Om ${x}_{k},\;{x}_{k-1},\;\dots ,\;{x}_{0}$ är lika fördelade med ${x}_{0}={x}_{k}+sh$ och ${x }_{i}={x}_{k}-(ki)h$ för i = 0, 1, ..., k , sedan,

${\begin{aligned}N(x)&=[{y}_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}]sh+\cdots +[{ y}_{k},\ldots ,{y}_{0}]s(s+1)\cdots (s+k-1){h}^{k}\\&=\summa _{i= 0}^{k}{(-1)}^{i}{-s \choose i}i!{h}^{i}[{y}_{k},\ldots ,{y}_{ki }].\end{aligned}}$

kallas Newtons bakåtdelad skillnadsformel .

Betydelse

Ytterligare information: Finita skillnader § Newtons serie

Newtons formel är av intresse eftersom det är den enkla och naturliga skillnadsversionen av Taylors polynom. Taylors polynom berättar vart en funktion kommer att gå, baserat på dess y -värde, och dess derivator (dess förändringshastighet och förändringshastigheten för dess förändringshastighet, etc.) vid ett visst x- värde. Newtons formel är Taylors polynom baserat på ändliga skillnader istället för momentana förändringshastigheter.

Tillägg av nya poäng

Som med andra differensformler kan graden av ett Newton-interpolerande polynom ökas genom att lägga till fler termer och punkter utan att kassera befintliga. Newtons form har enkelheten att de nya punkterna alltid läggs till i ena änden: Newtons framåtformel kan lägga till nya punkter till höger, och Newtons bakåtformel kan lägga till nya punkter till vänster.

Noggrannheten för polynominterpolation beror på hur nära den interpolerade punkten är mitten av x -värdena för den använda uppsättningen av punkter. Uppenbarligen, när nya punkter läggs till i ena änden, blir den mitten längre och längre från den första datapunkten. Därför, om det inte är känt hur många punkter som kommer att behövas för den önskade noggrannheten, kan mitten av x-värdena vara långt ifrån där interpoleringen görs.

Gauss, Stirling och Bessel utvecklade alla formler för att lösa det problemet.

₀ Gauss formel lägger omväxlande till nya punkter i vänster och höger ände, och håller därigenom uppsättningen punkter centrerad nära samma plats (nära den utvärderade punkten). När man gör det använder den termer från Newtons formel, med datapunkter och x -värden omdöpta i enlighet med ens val av vilken datapunkt som betecknas som x -datapunkt.

Stirlings formel förblir centrerad kring en viss datapunkt, för användning när den utvärderade punkten är närmare en datapunkt än mitten av två datapunkter.

Bessels formel förblir centrerad kring en viss mitt mellan två datapunkter, för användning när den utvärderade punkten är närmare en mitt än en datapunkt.

Bessel och Stirling uppnår det genom att ibland använda genomsnittet av två skillnader, och ibland använda genomsnittet av två produkter av binomialer i x , där Newtons eller Gauss skulle använda bara en skillnad eller produkt. Stirling's använder en genomsnittlig skillnad i udda graders termer (vars skillnad använder ett jämnt antal datapunkter); Bessel's använder en genomsnittlig skillnad i jämna graders termer (vars skillnad använder ett udda antal datapunkter).

Styrkor och svagheter med olika formler

För varje given ändlig uppsättning datapunkter finns det bara ett polynom av minsta möjliga grad som passerar genom dem alla. Således är det lämpligt att tala om "Newtonformen", eller Lagrangeformen , etc., av interpolationspolynomet. Emellertid kan olika metoder för att beräkna detta polynom ha olika beräkningseffektivitet. Det finns flera liknande metoder, som Gauss, Bessel och Stirling. De kan härledas från Newtons genom att döpa om x -värdena för datapunkterna, men i praktiken är de viktiga.

Bessel vs. Stirling

Valet mellan Bessel och Stirling beror på om den interpolerade punkten är närmare en datapunkt, eller närmare en mitt mellan två datapunkter.

En polynominterpolations fel närmar sig noll, eftersom interpolationspunkten närmar sig en datapunkt. Därför ger Stirlings formel sin noggrannhetsförbättring där den behövs minst och Bessel tar med sin noggrannhetsförbättring där den behövs som mest.

Så, Bessels formel kan sägas vara den mest konsekvent exakta skillnadsformeln, och i allmänhet den mest konsekvent korrekta av de välbekanta polynominterpolationsformlerna.

Metoder med uppdelad skillnad mot Lagrange

Lagrange sägs ibland kräva mindre arbete, och ibland rekommenderas det för problem där det är känt i förväg, från tidigare erfarenhet, hur många termer som behövs för tillräcklig noggrannhet.

De uppdelade skillnadsmetoderna har fördelen att fler datapunkter kan läggas till, för förbättrad noggrannhet. Termerna baserade på de tidigare datapunkterna kan fortsätta att användas. Med den vanliga Lagrange-formeln skulle man göra om hela problemet för att lösa problemet med fler datapunkter.

Det finns en "barycentrisk" version av Lagrange som undviker behovet av att göra om hela beräkningen när du lägger till en ny datapunkt. Men det kräver att värdena för varje term registreras.

Men förmågan hos Gauss, Bessel och Stirling att hålla datapunkterna centrerade nära den interpolerade punkten ger dem en fördel gentemot Lagrange, när det inte är känt i förväg hur många datapunkter som kommer att behövas.

Anta dessutom att man vill ta reda på om linjär interpolation är tillräckligt korrekt för någon speciell typ av problem. Det kan bestämmas genom att utvärdera den kvadratiska termen för en delad skillnadsformel. Om den kvadratiska termen är försumbar – vilket betyder att den linjära termen är tillräckligt exakt utan att addera den kvadratiska termen – så är linjär interpolation tillräckligt exakt. Om problemet är tillräckligt viktigt, eller om den kvadratiska termen är nästan tillräckligt stor för att spela roll, kanske man vill avgöra om summan av kvadratiska och kubiktermer är tillräckligt stor för att spela roll i problemet.

Naturligtvis kan endast en delad skillnadsmetod användas för en sådan bestämning.

₀ För detta ändamål bör formeln med delad differens och/eller dess x -punkt väljas så att formeln kommer att använda, för sin linjära term, de två datapunkter mellan vilka den linjära interpoleringen av intresse skulle göras.

Formlerna för uppdelade skillnader är mer mångsidiga, användbara i fler typer av problem.

Lagrangeformeln är som bäst när all interpolation kommer att göras vid ett x- värde, med endast datapunkternas y -värden som varierar från ett problem till ett annat, och när det är känt, från tidigare erfarenhet, hur många termer som behövs för tillräcklig noggrannhet.

Med Newtonformen av det interpolerande polynomet finns det en kompakt och effektiv algoritm för att kombinera termerna för att hitta polynomets koefficienter.

Noggrannhet

När, med Stirlings eller Bessels, den sista termen som används inkluderar medelvärdet av två skillnader, används ytterligare en punkt än Newtons eller andra polynominterpolationer skulle använda för samma polynomgrad. Så i det fallet sätter inte Stirlings eller Bessels polynom ett N −1 grads polynom genom N punkter, utan handlar istället om ekvivalens med Newtons för bättre centrering och noggrannhet, vilket ger dessa metoder ibland potentiellt större noggrannhet, för en given polynomgrad , än andra polynominterpolationer.

Allmänt fall

För specialfallet x _i = i finns det en närbesläktad uppsättning polynom, även kallade Newtonpolynom, som helt enkelt är binomialkoefficienterna för allmänt argument. Det vill säga, man har också Newtonpolynomen $p_{n}(z)$ givna av

$p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}$

I denna form genererar Newtonpolynomen Newtonserien . Dessa är i sin tur ett specialfall av generella differenspolynom som tillåter representation av analytiska funktioner genom generaliserade differensekvationer.

Huvudtanken

Att lösa ett interpolationsproblem leder till ett problem i linjär algebra där vi måste lösa ett system av linjära ekvationer. Genom att använda en standardmonomial bas för vårt interpolationspolynom får vi den mycket komplicerade Vandermonde-matrisen . Genom att välja en annan bas, Newtonbasen, får vi ett system av linjära ekvationer med en mycket enklare lägre triangulär matris som kan lösas snabbare.

För k + 1 datapunkter konstruerar vi Newtonbasen som

$n_{0}(x):=1,\qquad n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})\qquad j =1,\ldots ,k.$

Med dessa polynom som grund för $\Pi _{k}$ måste vi lösa

${\begin{bmatrix}1&&\ldots &&0\\1&x_{1}-x_{0}&&&\\1&x_{2}-x_{0} &(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&&\vdots \\\vdots &\vdots &&\ddots &\\1&x_{k}-x_{0}&\ ldots &\ldots &\prod _{j=0}^{k-1}(x_{k}-x_{j})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\\\ \vdots \\\\a_{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\\\\vdots \\\\y_{k}\end{bmatrix}}$

för att lösa polynominterpolationsproblemet.

Detta ekvationssystem kan lösas iterativt genom att lösa

$\sum _{i=0}^{j}a_{i}n_{i}(x_{j})=y_{j}\qquad j=0,\dots ,k.$

Härledning

Medan interpolationsformeln kan hittas genom att lösa ett linjärt ekvationssystem, finns det en förlust av intuition i vad formeln visar och varför Newtons interpolationsformel fungerar är inte lätt uppenbart. Till att börja med måste vi först fastställa två fakta:

Fakta 1. Omvänd termen för en delad skillnad lämnar den oförändrad: $[y_{0},\ldots ,y_{n}]=[y_{n},\ldots ,y_{0}].$

Beviset för detta är en enkel induktion: för $n=1$ beräknar vi

$$[y_{0},y_{1}]={\frac {[y_{1}]-[y_{0}]}{x_{1}-x_{0}}}={\frac { [y_{0}]-[y_{1}]}{x_{0}-x_{1}}}=[y_{1},y_{0}].$$

Induktionssteg: Antag att resultatet gäller för varje delad skillnad som involverar högst $n+1$ termer. Genom att sedan använda induktionshypotesen i följande 2:a likhet ser vi att för en delad skillnad som involverar $n+2$ termer har vi

$$[y_{0},\ldots ,y_{n+1}]={\frac {[y_{1},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{0},\ldots , y_{n}]}{x_{n+1}-x_{0}}}={\frac {[y_{n},\ldots ,y_{0}]-[y_{n+1},\ldots ,y_{1}]}{x_{0}-x_{n+1}}}=[y_{n+1},\ldots ,y_{0}].$$

Vi formulerar nästa fakta 2 som vi för induktions- och tydlighetssyfte också kallar påstående $n$ ( ${\displaystyle {\text{Stm}}_{n}})$ :

Fakta 2. ( ${\text{Stm}}_{n}$ ) : Om $(x_{0 },y_{0}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})$ är alla $n$ punkter med distinkta $x$ -koordinater och $P=P(x)$ är det unika polynomet av grad (högst) $n-1$ vars graf passerar genom dessa $n$ punkter då håller relationen

$$[y_{0},\ldots ,y_{n }](x_{n}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n}-x_{n-1})=y_{n}-P(x_{n})$$

Bevis. (Det kommer att vara till hjälp för en flytande läsning av beviset att ha det exakta påståendet och dess subtilitet i åtanke: $P$ definieras genom att passera genom $(x_{0},y_{0}),...,(x_{n-1},y_{n-1})$ men formeln talar också på båda sidor om en ytterligare godtycklig punkt $(x_{n},y_{n})$ med $x$ -koordinat skild från den andra $x_{i}$ .)

Vi bevisar återigen dessa påståenden genom induktion. För att visa $låt {\displaystyle {\text{Stm}}_{1},}$$(x_{0},y_{0})}$ displaystyle valfri punkt och låt $P(x)$ vara det unika polynomet av grad 0 som går genom $(x_{0},y_{0})$ . Då uppenbarligen $P(x)=y_{0}$ och vi kan skriva

$$[y_{0}, y_{1}](x_{1}-x_{0})={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x_{1}-x_ {0})=y_{1}-y_{0}=y_{1}-P(x_{1})$$

som önskat.

Bevis på ${\text{Stm}}_{n+1},$ förutsatt att ${\text{Stm}}_{n}$ redan är etablerad: Låt $P(x)$ vara polynomet av grad (högst) $n$ som går genom $(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n}).$

Med $Q(x)$ det unika polynomet av grad (högst) $n-1$ som passerar genom punkterna ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})} ,$ vi kan skriva följande kedja av likheter, där vi använder i näst sista likhet som Stm $_{n}$ gäller för $Q$ :

$${\begin{aligned}&[y_{0},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n+ 1}-x_{n})\\&={\frac {[y_{1},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{0},\ldots ,y_{n}]}{x_ {n+1}-x_{0}}}(x_{n+1}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=\vänster ([y_{1},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{0},\ldots,y_{n}]\right)(x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=[y_{1},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{1}) \cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})-[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=(y_{n+1}-Q(x_{n+1}))-[y_{0},\ldots ,y_{ n}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=y_{n+1}-(Q(x_ {n+1})+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{ n})).\end{aligned}}$$

Induktionshypotesen för $Q$ gäller även för den andra likheten i följande beräkning, där $(x_{0},y_{0})$ läggs till punkterna som definierar ${ \displaystyle Q}$ :

$${\begin{aligned}&Q(x_{0})+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{0}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_ {0}-x_{n})\\&=Q(x_{0})+[y_{n},\ldots ,y_{0}](x_{0}-x_{n})\cdot \ldots \cdot (x_{0}-x_{1})\\&=Q(x_{0})+y_{0}-Q(x_{0})\\&=y_{0}\\&=P (x_{0}).\\\end{aligned}}$$

Titta nu på ${\displaystyle Q(x)+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n}).} Enligt definitionen$ av $Q$ detta polynom passerar genom $(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ och, som vi nyss visade, passerar den också genom $(x_{0},y_{0}).$ Det är alltså det unika polynomet med grad $\leq n$ som passerar genom dessa punkter. Därför är detta polynom $P(x);$ dvs: $P(x)=Q(x)+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n}).$

Således kan vi skriva den sista raden i den första kedjan av likheter som ` ${\displaystyle y_{n+1}-P(x_{n+1})} '$ och har sålunda fastställt att

$$[y_{0},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n} )=y_{n+1}-P(x_{n+1}).$$

Så vi etablerade ${\displaystyle {\text{Stm}}_{n+1}} ,$ och slutförde därmed beviset för Fakta 2.

Titta nu på Fakta 2: Det kan formuleras så här: Om $P$ är det unika polynomet av grad som högst $n-1$ vars graf går genom punkterna $(x_{0},y_{0}),...,(x_{n-1},y_{n-1}),$ sedan ${\displaystyle P(x)+[y_{0},\ldots ,y_{n} ](x-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n-1})} är$ det unika polynomet med högst $n$ som passerar genom punkter ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),...,(x_{n-1},y_{n-1}),(x_{n},y_{n}).} Så$ vi se Newton-interpolation tillåter verkligen att lägga till nya interpolationspunkter utan att förstöra det som redan har beräknats.

Taylor polynom

Gränsen för Newtonpolynomet om alla noder sammanfaller är ett Taylorpolynom , eftersom de delade skillnaderna blir derivator.

$${\begin{aligned}&\lim _{(x_{0},\dots,x_{n})\to (z,\dots,z)}f[x_{ 0}]+f[x_{0},x_{1}]\cdot (\xi -x_{0})+\dots +f[x_{0},\dots ,x_{n}]\cdot (\ xi -x_{0})\cdot \dots \cdot (\xi -x_{n-1})\\&=f(z)+f'(z)\cdot (\xi -z)+\dots + {\frac {f^{(n)}(z)}{n!}}\cdot (\xi -z)^{n}\end{aligned}}$$

Ansökan

Som framgår av definitionen av de delade skillnaderna kan nya datapunkter läggas till datamängden för att skapa ett nytt interpolationspolynom utan att räkna om de gamla koefficienterna. Och när en datapunkt ändras behöver vi vanligtvis inte räkna om alla koefficienter. Dessutom, om x _i fördelas på lika avstånd, blir beräkningen av de delade skillnaderna betydligt lättare. Därför är formlerna med uppdelad skillnad vanligtvis att föredra framför Lagrange-formen av praktiska skäl.

Exempel

De uppdelade skillnaderna kan skrivas i form av en tabell. Till exempel, för en funktion f interpoleras på punkterna $x_{0},\ldots ,x_{n}$ . Skriva

${ \begin{matris}x_{0}&f(x_{0})&&\\&&{f(x_{1})-f(x_{0}) \över x_{1}-x_{0}}&\ \x_{1}&f(x_{1})&&{{f(x_{2})-f(x_{1}) \över x_{2}-x_{1}}-{f(x_{1} )-f(x_{0}) \över x_{1}-x_{0}} \över x_{2}-x_{0}}\\&&{f(x_{2})-f(x_{1 }) \över x_{2}-x_{1}}&\\x_{2}&f(x_{2})&&\vdots \\&&\vdots &\\\vdots &&&\vdots \\&&\vdots & \\x_{n}&f(x_{n})&&\\\end{matris}}$

Sedan bildas det interpolerande polynomet enligt ovan med användning av de översta posterna i varje kolumn som koefficienter.

Anta till exempel att vi ska konstruera det interpolerande polynomet till f ( x ) = tan( x ) med hjälp av delade skillnader, vid punkterna

$n$	$x_{n}$	$f(x_{n})$
$0$	$-{\tfrac {3}{2}}$	$-14.1014$
$1$	$-{\tfrac {3}{4}}$	$-0,931596$
$2$	$0$	$0$
$3$	${\tfrac {3}{4}}$	$0,931596$
$4$	${\tfrac {3}{2}}$	$14.1014$

Med hjälp av sex siffrors noggrannhet konstruerar vi tabellen

$&&&&\ \&&17.5597&&&\\-{\tfrac {3}{4}}&-0.931596&&-10.8784&&\\&&1.24213&&4.83484&\\0&0&&0&&0\\\\\&&1.242134&8&4. 4}}&0.931596&&10.8784&&\\&&17.5597&&&\\{\tfrac {3}{2}}&14.1014&&&&\\\end{matris}}}$

Det interpolerande polynomet är alltså

${\begin{aligned}&-14.1014+17.5{t\{tx{3} 2}})-10,8784(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})+4,83484(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{ \tfrac {3}{4}})(x)+0(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})(x)(x-{\tfrac {3}{4}})\\={}&-0.00005-1.4775x-0.00001x^{2}+4.83484x^{3}\end{aligned}}$

Givet fler siffror av noggrannhet i tabellen, kommer den första och tredje koefficienten att befinnas vara noll.

Ett annat exempel:

Sekvensen $f_{0}$ så att $f_{0}(1)=6,f_{0} (2)=9,f_{0}(3)=2$ och $f_{0}(4)=5$ , dvs. de är ${\ displaystyle 6,9,2,5}$ från $x_{0}=1$ till $x_{3}=4$ .

Du får lutningen för ordning $1$ på följande sätt:

• $f_{1}(x_{0},x_{1}) ={\frac {f_{0}(x_{1})-f_{0}(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {9-6}{2 -1}}=3$
• $f_{1}(x_{1},x_ {2})={\frac {f_{0}(x_{2})-f_{0}(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {2- 9}{3-2}}=-7$
• $f_{1}(x_{2},x_{ 3})={\frac {f_{0}(x_{3})-f_{0}(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}}={\frac {5-2 }{4-3}}=3$

Eftersom vi har lutningarna för ordning $1$ , är det möjligt att få nästa beställning:

• $f_{ 2}(x_{0},x_{1},x_{2})={\frac {f_{1}(x_{1},x_{2})-f_{1}(x_{0},x_ {1})}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {-7-3}{3-1}}=-5$
• ${ \displaystyle f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {f_{1}(x_{2},x_{3})-f_{1}(x_{ 1},x_{2})}{x_{3}-x_{1}}}={\frac {3-(-7)}{4-2}}=5}$

Slutligen definierar vi lutningen för ordning $3$ :

• $f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {f_{2}(x_{1},x_ {2},x_{3})-f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{0}}}={\frac {5- (-5)}{4-1}}={\frac {10}{3}}$

När vi väl har lutningen kan vi definiera de efterföljande polynomen:

• $p_{0}(x)=6$ .
• $p_{1}(x)=6+3(x-1)$
• $p_{2}(x)=6+3(x-1)-5(x- 1)(x-2)$ .
• $p_{3 }(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)+{\frac {10}{3}}(x-1)(x-2)(x-3) )$

Se även

• De numeris triangularibus et inde de progressionibus aritmeticis: Magisteria magna , ett verk av Thomas Harriot som beskriver liknande metoder för interpolation, skrivet 50 år tidigare än Newtons verk men inte publicerat förrän 2009
• Newton-serien
• Nevilles schema
• Polynominterpolation
• Lagrangeform av interpolationspolynomet
• Bernsteins form av interpolationspolynomet
• Hermite interpolation
• Carlsons teorem
• Tabell över Newtonska serier

externa länkar

• Modul för Newtonpolynomet av John H. Mathews