Skillnadspolynom

Inom matematiken , inom området komplex analys , är de allmänna skillnadspolynomen en polynomsekvens , en viss underklass av Shefferpolynomen , som inkluderar Newtonpolynomen , Selbergs polynom och Stirlinginterpolationspolynomen som specialfall.

Definition

Den allmänna skillnadspolynomsekvensen ges av

p_{n}(z)={\frac {z}{n}}{{z-\beta n-1} \choose {n-1}}

där ${z \choose n}$ är den binomiala koefficienten . För ${\displaystyle \beta =0} är$ de genererade polynomen $p_{n}(z)$ Newtonpolynomen

p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}.

Fallet $\beta =1$ genererar Selbergs polynom, och fallet $\beta =-1/2$ genererar Stirlings interpolationspolynom.

Rörliga skillnader

Givet en analytisk funktion $f(z)$ , definiera den rörliga skillnaden för f som

{\mathcal {L}}_{n}(f)=\Delta ^{n}f(\beta n)

där $\Delta$ är differensoperatorn framåt . Sedan, förutsatt att f följer vissa summerbarhetsvillkor, kan den representeras i termer av dessa polynom som

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z){\mathcal {L}}_{n}(f).

Villkoren för summerbarhet (det vill säga konvergens) för denna sekvens är ett ganska komplext ämne; i allmänhet kan man säga att ett nödvändigt villkor är att den analytiska funktionen är av mindre än exponentiell typ . Summerbarhetsvillkor diskuteras i detalj i Boas & Buck.

Genererande funktion

Genereringsfunktionen för de allmänna differenspolynomen ges av

e^{zt}=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)\left[\left(e^{t}-1\right)e^{\beta t}\right]^{n}.

Denna genererande funktion kan bringas i form av den generaliserade Appell-representationen

K(z,w)=A(w)\Psi (zg( w))=\summa _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}

genom att sätta $A(w)=1$ , $\Psi (x)=e^{x}$ , ${\ displaystyle g(w)=t}$ och $w=(e^{t}-1)e^{\beta t}$ .

Se även

Ralph P. Boas, Jr. och R. Creighton Buck , Polynomial Expansions of Analytic Functions (andra tryckningen korrigerad), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress kortnummer 63-23263.