Monomial basis

I matematik är den monomiala basen för en polynomring dess bas (som ett vektorutrymme eller fri modul över fältet eller ringen av koefficienter ) som består av alla monomialer . Monomialen utgör en grund eftersom varje polynom kan skrivas unikt som en finit linjär kombination av monomial (detta är en omedelbar följd av definitionen av ett polynom).

En obestämd

Polynomringen $K [x]$ för univariata polynom över ett fält $K$ är ett $K$ -vektorrum, som har

1,x,x^{2},x^{3},\ldots

som en (oändlig) grund. Mer generellt, om

K

är en ring så är

K [x]

en fri modul som har samma grund.

Polynomen med högst grad $d$ bildar också ett vektorrum (eller en fri modul i fallet med en ring av koefficienter), som har

1,x,x^{2},\ldots

som grund.

Den kanoniska formen av ett polynom är dess uttryck på denna grund:

a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{d}x ^{d},

eller, med den kortare sigma-notationen :

\sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}.

Den monomiala basen är naturligtvis helt ordnad , antingen i ökande grad

1<x<x^{2}<\cdots ,

eller genom minskande grader

1>x>x^{2}>\cdots .

Flera obestämda

I fallet med flera obestämda ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},} är$ en monomial en produkt

x_{1}^{d_{1}}x_{2}^{d_{2}}\cdots x_{n}^{d_{n }},

där

d_{i}

är icke-negativa heltal . Eftersom

x_{i}^{0}=1,

betyder en exponent lika med noll att motsvarande obestämda inte förekommer i monomialen; särskilt

1=x_{1}^{0}x_{2}^{0}\cdots x_{n}^{0}

är en monomial.

I likhet med fallet med univariata polynom, bildar polynomen i $x_{1},\ldots ,x_{n}$ ett vektorrum (om koefficienterna tillhör ett fält) eller en fri modul (om koefficienterna tillhör en ring), som har uppsättningen av alla monomialer som bas, kallad monomialbas .

De homogena polynomen av grad $d$ bildar ett delrum som har monomierna av grad $d=d_{1}+\cdots +d_{n}$ som bas . Dimensionen för detta delrum är antalet monomer av grad $displaystyle d}$ \ , vilket är

{\binom {d+n-1}{d}}={\frac {n(n+1)\cdots (n+d-1)}{d!}},

där

{\textstyle {\binom {d+n-1}{d}}}

är en binomial koefficient .

Polynomen med högst grad $d$ bildar också ett delrum, som har monomierna av högst grad $d$ som grund. Antalet av dessa monomialer är dimensionen av detta delrum, lika med

{\binom {d+n}{d}}={\binom {d+n}{n}}={\frac {(d+1)\cdots (d+n)}{n!} }.

I motsats till det univariata fallet finns det ingen naturlig totalordning av den monomiala basen i det multivariata fallet. För problem som kräver att man väljer en total ordning, såsom Gröbner- beräkningar, väljer man i allmänhet en tillåten monomordning - det vill säga en total ordning på uppsättningen av monomialer så att

m<n\iff mq<nq

och

1\leq m

för varje monomial

m,n,q.

Se även