Band (algebra)

I matematik är ett band (även kallat idempotent semigroup ) en semigroup där varje element är idempotent (med andra ord lika med sin egen kvadrat). Banden studerades först och namngavs av AH Clifford ( 1954 ); gittret av varianter av band beskrevs oberoende i början av 1970-talet av Biryukov, Fennemore och Gerhard . Semigitter , vänster-nollband , höger-nollband , rektangulära band , normala band , vänster-reguljära band , höger-reguljära band och reguljära band , specifika underklasser av band som ligger nära botten av detta gitter, är av särskilt intresse och är beskrivs kortfattat nedan.

Variationer av band

En klass av band bildar en variation om den stängs under bildandet av subsemigrupper, homomorfa bilder och direkt produkt . Varje variation av band kan definieras av en enda definierande identitet .

Semigitter

Semilattices är exakt kommutativa band; det vill säga de är banden som uppfyller ekvationen

$xy = yx$ för alla $x$ och $y$ .

Band inducerar en förordning som kan definieras som $x\leq y$ om och endast om $xy=x$ . Att kräva kommutativitet innebär att denna förordning blir en (semigitter) partiell ordning.

Noll band

Ett vänsternollband är ett band som uppfyller ekvationen

$xy = x$ ,

varifrån dess Cayley-tabell har konstanta rader.

Symmetriskt sett är ett högernollband ett tillfredsställande

$xy = y$ ,

så att Cayley-tabellen har konstanta kolumner.

Rektangulära band

Ett rektangulärt band är ett band $S$ som uppfyller

$xyx = x$ för alla $x, y \in S$ , eller motsvarande,
$xyz = xz$ för alla $x, y, z \in S$ ,

I vilken semigrupp som helst är den första identiteten tillräcklig för att karakterisera en Nowhere-kommutativ semigrupp .

Ingenstans antyder kommutativ halvgrupp den första identiteten.

I vilken flexibel magma som helst $(aa)a=a(aa)$ så pendlar varje element med sin kvadrat. Så i vilken Nowhere-kommutativ semigrupp som helst är varje element idempotent, så varje Nowhere-kommutativ semigrupp är i själva verket ett Nowhere-kommutativt band.

Alltså i vilken Nowhere-kommutativ semigrupp som helst

x(xyx)=(xx)yx=xyx=xy(xx) =(xyx)x

Så $x$ pendlar med $xyx$ och därmed $xyx=x$ - den första karakteristiska identiteten.

I en valfri semigrupp innebär den första identiteten idempotens eftersom $a=aaa$ så $aa=aaaa=a(aa) a=a$ så idempotent (ett band). Sedan

ingenstans kommutativ eftersom ett band $xy=yx\implicerar (xy)(yx)=(yx)(xy)$ Alltså i ett band

xy=yx\implicerar x=xyx=x(yy)x=(xy)(yx)=(yx)(xy)=y(xx)y=yxy=y

I vilken semigrupp som helst innebär den första identiteten också den andra eftersom $xyz = xy (zxz) = (x (yz) x) z = xz$ .

Idempotenterna i en rektangulär halvgrupp bildar ett underband som är ett rektangulärt band, men en rektangulär halvgrupp kan ha element som inte är idempotenta. I ett band innebär den andra identiteten uppenbarligen den första men det kräver idempotens. Det finns semigrupper som uppfyller den andra identiteten men som inte är band och som inte uppfyller den första.

Det finns en fullständig klassificering av rektangulära band. Givet godtyckliga uppsättningar $I$ och $J$ kan man definiera en magmaoperation på $I \times J$ genom inställning

(i,j)\cdot (k,\ell )=(i,\ell )\,

$(i z, jz Denna operation är associativ eftersom$ vi har tre par $) (i x, jx)$ , $(i y, j y)$ ,

((i_{x},j_{x})\cdot (i_{y},j_{y}))\cdot (i_{z },j_{z})=(i_{x},j_{y})\cdot (i_{z},j_{z})=(i_{x},j_{z})=(i_{x} ,j_{x})\cdot (i_{z},j_{z})

och likaså

(i_{x},j_{x} )\cdot ((i_{y},j_{y})\cdot (i_{z},j_{z}))=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{y},j_ {z})=(i_{x},j_{z})=(i_{x},j_{x})\cdot (i_{z},j_{z})

Dessa två magma identiteter

(xy)z = xz

och

x(yz) = xz

är tillsammans ekvivalenta med den andra karakteristiska identiteten ovan.

De två tillsammans innebär också associativitet $(xy)z = x(yz)$ . Varje magma som uppfyller dessa två rektangulära identiteter och idempotens är därför ett rektangulärt band. Så varje magma som uppfyller båda de karakteristiska identiteterna (fyra separata magmaidentiteter) är ett band och därför ett rektangulärt band.

Magmaoperationen som definieras ovan är ett rektangulärt band eftersom vi för alla par $(i, j) har$ $( i, j) \cdot (i, j) = (i , j)$ så varje element är idempotent och den första karakteristiska identiteten följer av tvåa tillsammans med idempotens.

Men en magma som tillfredsställer endast identiteterna för den första egenskapen och idempotens behöver inte vara associativ så den andra egenskapen följer bara från den första i en semigrupp.

Varje rektangulärt band är isomorft till någon av ovanstående former (antingen $S$ är tom, eller välj valfritt element ${\displaystyle e\in S} ,$ och sedan ( $s\mapsto (se,es)$ ) definierar en isomorfism $S\cong Se\times eS$ ). Vänster-noll- och höger-nollband är rektangulära band, och i själva verket är varje rektangulärt band isomorft till en direkt produkt av ett vänster-nollband och ett höger-nollband. Alla rektangulära band av prime ordning är nollband, antingen vänster eller höger. Ett rektangulärt band sägs vara rent rektangulärt om det inte är ett vänster-noll- eller höger-nollband.

I kategoriskt språk kan man säga att kategorin av icke-tomma rektangulära band är ekvivalent med $\mathrm {Set} _{\neq \emptyset }\times \mathrm {Set} _{\neq \emptyset }$ , där $\mathrm {Set} _{\neq \emptyset }$ är kategorin med icke-tomma mängder som objekt och fungerar som morfismer. Detta innebär inte bara att varje icke-tomt rektangulärt band är isomorft till ett som kommer från ett par av uppsättningar, utan även dessa uppsättningar är unikt bestämda upp till en kanonisk isomorfism, och alla homomorfismer mellan band kommer från par av funktioner mellan uppsättningar. Om mängden $I$ är tom i ovanstående resultat, är det rektangulära bandet $I \times J$ oberoende av $J$ och vice versa. Detta är anledningen till att ovanstående resultat endast ger en ekvivalens mellan icke-tomma rektangulära band och par av icke-tomma uppsättningar.

Rektangulära band är också $T$ -algebrorna, där $T$ är monaden på mängden med $T (X)= X \times X$ , $T (f)= f \times f$ , $\eta _{X}$ är diagonalen map $X\to X\times X$ och $\ mu _{X}((x_{11},x_{12}),(x_{21},x_{22}))=(x_{11},x_{22})$ .

Normala band

Ett normalt band är ett band $S$ tillfredsställande

$zxyz = zyxz$ för alla $x$ , $y$ , och $z \in S$ .

Vi kan också säga att ett vanligt band är ett band $S$ tillfredsställande

$axyb = ayxb$ för alla $a$ , $b$ , $x$ och $y \in S$ .

Detta är samma ekvation som används för att definiera mediala magma , så ett normalt band kan också kallas ett medialt band, och normala band är exempel på mediala magma.

Vänster-vanliga band

Ett vänster-vanligt band är ett band $S$ tillfredsställande

$xyx = xy$ för alla $x$ , $y \in S$

Om vi tar en halvgrupp och definierar $a \leq b$ om och endast om $ab = b$ , får vi en partiell ordning om och endast om denna semigrupp är ett vänster-reguljärt band. Vänster-reguljära band dyker alltså upp naturligt i studiet av posetter .

Höger-vanliga band

Ett höger-vanligt band är ett band $S$ tillfredsställande

$xyx = yx$ för alla $x, y \in S$

Varje höger-reguljärt band blir ett vänster-reguljärt band med den motsatta produkten. Alla olika band har faktiskt en "motsatt" version; detta ger upphov till reflektionssymmetrin i figuren nedan.

Vanliga band

Ett vanligt band är ett band $S$ tillfredsställande

$zxzyz = zxyz$ för alla $x, y, z \in S$

Gitter av sorter

Gitter av sorter av vanliga band.

När de delvis beställs genom inkludering, bildar sorter av band naturligt ett gitter , där mötet mellan två sorter är deras skärningspunkt och sammanfogningen av två sorter är den minsta sorten som innehåller dem båda. Den fullständiga strukturen av detta galler är känd; i synnerhet är det räknebart , komplett och distributivt . Subgitteret som består av de 13 varianterna av vanliga band visas i figuren. Varianterna av vänster-noll-band, semilattices och höger-noll-band är de tre atomerna (icke-triviala minimala element) i detta gitter.

Varje sort av band som visas i figuren definieras av bara en identitet. Detta är inte en slump: i själva verket varje sort av band definieras av en enda identitet.

Se även

Boolean ring , en ring där varje element är (multiplikativt) idempotent
Ingenstans kommutativ semigrupp
Särskilda klasser av semigrupper
ortodox halvgrupp
Vändbar cellulär automat § Endimensionell automat

Anteckningar

Biryukov, AP (1970), "Varieties of idempotent semigroups", Algebra and Logic , 9 (3): 153–164, doi : 10.1007/BF02218673 .
Brown, Ken (2000), "Semigroups, rings, and Markov chains", J. Theoret. Probab. , 13 : 871–938, arXiv : math/0006145 , Bibcode : 2000math......6145B .
Clifford, Alfred Hoblitzelle (1954), "Bands of semigroups", Proceedings of the American Mathematical Society , 5 : 499–504, doi : 10.1090/S0002-9939-1954-0062119-9 , MR 90622 .
Clifford, Alfred Hoblitzelle ; Preston, Gordon Bamford (1972), The Algebraic Theory of Semigroups , Moskva: Mir .
Fennemore, Charles (1970), "Alla varianter av band", Semigroup Forum , 1 (1): 172–179, doi : 10.1007/BF02573031 .
Gerhard, JA (1970), "The lattice of equational classes of idempotent semigroups", Journal of Algebra , 15 (2): 195–224, doi : 10.1016 /0021-8693(70)90073-6 , hdml 8.dml /128238 .
Gerhard, JA; Petrich, Mario (1989), "Varieties of bands revisited", Proceedings of the London Mathematical Society , 3 : 323–350, doi : 10.1112/plms/s3-58.2.323 .
Howie, John M. (1995), Fundamentals of Semigroup Theory , Oxford U. Press, ISBN 978-0-19-851194-6 .
Nagy, Attila (2001), Special Classes of Semigroups , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers , ISBN 0-7923-6890-8 .
Yamada, Miyuki (1971), "Note on exklusiva semigroups", Semigroup Forum , 3 (1): 160–167, doi : 10.1007/BF02572956 .