Laplace-operatorer i differentialgeometri

I differentialgeometri finns det ett antal andra ordningens, linjära, elliptiska differentialoperatorer som bär namnet Laplacian . Den här artikeln ger en översikt över några av dem.

Anslutning Laplacian

Förbindelsen Laplacian , även känd som den grova Laplacian , är en differentialoperator som verkar på de olika tensorknippena i ett grenrör, definierade i termer av en Riemannisk - eller pseudo-Riemannisk metrik. När den tillämpas på funktioner (dvs. tensorer av rang 0) kallas kopplingen Laplace ofta för Laplace–Beltrami-operatorn . Det definieras som spåret av den andra kovariansderivatan :

$\Delta T={\text{tr}}\;\nabla ^{2}T,$

där T är valfri tensor, $\nabla$ är Levi-Civita-kopplingen som är associerad med metriken, och spåret tas med avseende på metriken. Kom ihåg att den andra kovariantderivatan av T definieras som

$\nabla _{X,Y}^{2}T=\nabla _{X}\nabla _{Y}T-\nabla _{\nabla _{X}Y}T.$

Observera att med denna definition har kopplingen Laplacian negativt spektrum . På funktioner stämmer det överens med operatorn som anges som divergensen för gradienten.

Om kopplingen av intresse är Levi-Civita-kopplingen kan man hitta en bekväm formel för Laplacian för en skalär funktion i termer av partiella derivator med avseende på ett koordinatsystem:

$\Delta \phi =|g|^{-1/2}\partial _{\mu }\left(|g |^{1/2}g^{\mu \nu }\partial _{\nu }\phi \right)$

där $\phi$ är en skalär funktion, $|g|$ är det absoluta värdet av metrikens determinant (absolutvärde är nödvändigt i det pseudo-riemannska fallet , t.ex. i General Relativity ) och $g^{\mu \nu }$ anger inversen av den metriska tensorn .

Hodge Laplacian

Hodge Laplacian , även känd som Laplace–de Rham-operatören , är en differentialoperator som agerar på differentialformer . (Sammanfattningsvis är det en andra ordningens operatör på varje yttre effekt av cotangensbunten. ) Denna operatör definieras på vilket grenrör som helst som är utrustat med en Riemannisk - eller pseudo-Riemannisk metrik.

$\Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} =(\mathrm {d} +\delta )^{2 },\;$

där d är den yttre derivatan eller differentialen och δ är kodifferentialen . Hodge Laplacian på ett kompakt grenrör har icke-negativt spektrum .

Anslutningen Laplacian kan också anses agera på differentialformer genom att begränsa den till att verka på skevsymmetriska tensorer. Kopplingen Laplacian skiljer sig från Hodge Laplacian genom en Weitzenböck-identitet .

Bochner Laplacian

Bochner Laplacian definieras annorlunda än kopplingen Laplacian, men de två kommer att visa sig skilja sig åt endast genom ett tecken, närhelst den förra definieras. Låt M vara en kompakt, orienterad grenrör utrustad med en metrisk. Låt E vara en vektorbunt över M utrustad med en fibermetrik och en kompatibel anslutning, $\nabla$ . Denna anslutning ger upphov till en differentialoperatör

$\nabla :\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (T^{*}M\otimes E)$

där $\Gamma (E)$ anger släta sektioner av E , och T ^* M är den cotangenta bunten av M . Det är möjligt att ta $L^{2}$ -adjointen av $\nabla$ , vilket ger en differentialoperator

$\nabla ^{*}:\Gamma (T^{*}M\otimes E)\rightarrow \Gamma (E).$

Bochner Laplacian ges av

$\Delta =\nabla ^{*}\nabla$

ordningens operator som verkar på sektioner av vektorbunten E. Observera att anslutningen Laplacian och Bochner Laplacian endast skiljer sig åt med ett tecken:

$\nabla ^{*}\nabla =-{\text{tr}}\,\nabla ^{2}$

Lichnerowicz Laplacian

Lichnerowicz Laplacian definieras på symmetriska tensorer genom att ta $displaystyle \nabla :\Gamma (\operatörsnamn {Sym}$ för att vara den symmetriska kovariansderivatan. Lichnerowicz Laplacian definieras sedan av $\Delta _{L}=\nabla ^{*}\nabla$ , där $\nabla ^{*}$ är den formella adjointen. Lichnerowicz Laplacian skiljer sig från den vanliga tensor Laplacian genom en Weitzenbock-formel som involverar Riemanns krökningstensor , och har naturliga tillämpningar i studien av Ricci-flödet och det föreskrivna Ricci-krökningsproblemet .

Konformal Laplacian

På ett Riemann-grenrör kan man definiera den konforma Laplacian som en operatör för smidiga funktioner; den skiljer sig från Laplace–Beltrami-operatorn genom en term som involverar den skalära krökningen av det underliggande måttet. I dimension n ≥ 3 verkar den konforma laplacianen, betecknad L , på en jämn funktion u av

$$Lu=-4{\frac {n-1}{n-2}}\Delta u+Ru,$$

där Δ är Laplace-Beltrami-operatorn (av negativt spektrum), och R är den skalära krökningen. Den här operatören dyker ofta upp när han studerar hur den skalära krökningen beter sig under en konform förändring av ett Riemann-mått. Om n ≥ 3 och g är en metrik och u är en jämn, positiv funktion, då den konforma metriken

$${\tilde {g}}=u^{4/(n-2)}g\,$$

har skalär krökning ges av

$${\tilde {R}}=u^{-(n+2)/(n-2)}Lu.\,$$

Mer allmänt kan verkan av den konforma laplacianen av g på jämna funktioner φ relateras till den för den konforma laplacianen av g via transformationsregeln

$${\tilde {L}}(\varphi )=u^{-(n+2)/(n-2)}L(u\varphi ).$$

Jämförelser

Nedan finns en tabell som sammanfattar de olika Laplacian-operatorerna, inklusive den mest allmänna vektorbunten som de verkar på, och vilken struktur som krävs för grenröret och vektorbunten. Alla dessa operatorer är andra ordningens, linjära och elliptiska.

Laplacian	vektor bunt	erforderlig struktur, basgrenrör	erforderlig struktur, vektorbunt	spektrum
Hodge	differentiella former	metrisk	inducerad metrik och anslutning	positiv
Förbindelse	tensorer	metrisk	inducerad metrik och anslutning	negativ
Bochner	någon vektorbunt	metrisk	fibermetrisk, kompatibel anslutning	positiv
Lichnerowicz	symmetriska 2-tensorer	metrisk	inducerad anslutning	?
Konform	funktioner	metrisk	ingen	varierar

Se även

• Weitzenböck identitet