Weitzenböck identitet

Ej att förväxla med Weitzenböcks ojämlikhet .

Inom matematiken , i synnerhet i differentialgeometri , matematisk fysik och representationsteori , uttrycker en Weitzenböck-identitet , uppkallad efter Roland Weitzenböck , ett förhållande mellan två andra ordningens elliptiska operatorer på ett grenrör med samma huvudsymbol. Vanligtvis implementeras Weitzenböck-formler för G -invarianta självadjointoperatorer mellan vektorbuntar som är associerade med något huvudsakligt G -knippe , även om de exakta villkoren under vilka en sådan formel existerar är svåra att formulera. Denna artikel fokuserar på tre exempel på Weitzenböcks identiteter: från Riemannsk geometri, spinngeometri och komplex analys.

Riemannsk geometri

I Riemannsk geometri finns det två föreställningar om Laplacian på differentialformer över en orienterad kompakt Riemannmanifold M . Den första definitionen använder divergensoperatorn δ definierad som den formella adjoint till de Rham-operatorn d :

$$\int _{M}\langle \alpha ,\delta \beta \rangle :=\int _{M}\langle d\ alfa ,\beta \rangle$$

där α är vilken p -form som helst och β är vilken som helst ( p + 1 )-form, och $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ är metriken som induceras på bunten av ( p + 1 )-former. Den vanliga formen Laplacian ges då av

$$\Delta =d\delta +\delta d.$$

Å andra sidan försörjer Levi-Civita-anslutningen en differentialoperatör

$$\nabla :\Omega ^{p}M\högerpil \Omega ^{1}M\otimes \Omega ^{p}M,$$

där Ω ^p M är bunten av p -former. Bochner Laplacian ges av

$$\Delta '=\nabla ^{*}\nabla$$

där $\nabla ^{*}$ är adjointen till $\nabla$ . Detta är också känt som anslutningen eller grov Laplacian.

Det hävdar sedan Weitzenböcks formel

$$\Delta '-\Delta =A$$

där A är en linjär operator av ordningen noll som endast involverar krökningen.

Den exakta formen av A ges, upp till ett övergripande tecken beroende på krökningskonventioner, av

$$A={\frac {1}{2}}\langle R(\theta ,\theta )\ #,\#\rangle +\operatörsnamn {Ric} (\theta ,\#),$$

var

• R är Riemanns krökningstensor,
• Ric är Ricci-tensoren,
• $\theta :T^{*}M\otimes \Omega ^{p}M\rightarrow \Omega ^{p+1}M$ är karta som tar kilprodukten av en 1-form och p -form och ger en ( p +1)-form,
• $\#:\Omega ^{p+1}M\högerpil T^{*}M\otimes \Omega ^{p}M$ är universell härledning invers till θ på 1-former.

Spingeometri

Om M är ett orienterat spinngrenrör med Dirac-operatorn ð, så kan man bilda spinn Laplician Δ = ð ² på spinnbunten. Å andra sidan sträcker sig Levi-Civita-anslutningen till spinnbunten för att ge en differentialoperatör

$$\nabla :SM\rightarrow T^{*}M\otimes SM.$$

Som i fallet med Riemannska grenrör, låt $\Delta '=\nabla ^{*}\nabla$ . Detta är en annan självtillslutande operatör och har dessutom samma ledande symbol som spin Laplacian. Weitzenböcks formel ger:

$$\Delta '-\Delta =-{\frac {1}{4}}Sc$$

där Sc är den skalära krökningen. Detta resultat är också känt som Lichnerowicz-formeln .

Komplex differentialgeometri

Om M är ett kompakt Kähler-grenrör , finns det en Weitzenböck-formel som relaterar ${\bar {\partial }}$ -Laplacian (se Dolbeault-komplexet ) och den euklidiska Laplacian på ( p , q )-formerna . Närmare bestämt, låt

$$\Delta ={\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}{ \bar {\partial }}^{*},$$

och

$$\Delta '=-\summa _{k}\nabla _{k}\nabla _{\bar {k}}$$

i en enhetlig ram vid varje punkt.

Enligt Weitzenböcks formel, om $\alpha \in \Omega ^{(p,q)}M$ , då

$$\Delta ^{\prime }\alpha -\Delta \alpha =A(\alpha )$$

där $A$ är en operator av ordning noll som involverar krökningen. Specifikt om

$$\alpha =\alpha _{i_{1}i_{2}\dots i_{p}{\bar {j} }_{1}{\bar {j}}_{2}\dots {\bar {j}}_{q}}$$

i en enhetlig ram alltså

$$A(\alpha )=-\ summa _{k,j_{s}}\operatörsnamn {Ric} _{{\bar {j}}_{\alpha }}^{\bar {k}}\alpha _{i_{1}i_{2} \dots i_{p}{\bar {j}}_{1}{\bar {j}}_{2}\dots {\bar {k}}\dots {\bar {j}}_{q} }$$

med k på s -:e plats.

Andra Weitzenböck-identiteter

• I konform geometri finns det en Weitzenböck-formel som relaterar till ett speciellt par differentialoperatörer definierade på traktorbunten . Se Branson, T. och Gover, AR, "Conformally Invariant Operators, Differential Forms, Cohomology and a Generalization of Q-Curvature", Communications in Partial Differential Equations , 30 (2005) 1611–1669.

Se även

• Bochner identitet
• Bochner–Kodaira–Nakano identitet
• Laplacian operatorer i differentialgeometri

•   Griffiths, Philip ; Harris, Joe (1978), Principles of algebraic geometry , Wiley-Interscience (publicerad 1994), ISBN 978-0-471-05059-9