Lösning av trianglar

Lösning av trianglar ( latin : solutio triangulorum ) är det huvudsakliga trigonometriska problemet med att hitta egenskaperna hos en triangel (vinklar och längder på sidor), när några av dessa är kända. Triangeln kan placeras på ett plan eller på en sfär . Tillämpningar som kräver triangellösningar inkluderar geodesi , astronomi , konstruktion och navigering .

Lösa plana trianglar

Standardnotation för en triangel

En generell formtriangel har sex huvudsakliga egenskaper (se bilden): tre linjära (sidolängderna a , b , c ) och tre kantiga ( α , β , γ ). Det klassiska trigonometriska problemet är att specificera tre av de sex egenskaperna och bestämma de andra tre. En triangel kan bestämmas unikt i denna mening när den ges något av följande:

• Tre sidor ( SSS )
• Två sidor och den inkluderade vinkeln ( SAS , sidovinkel-sida)
• Två sidor och en vinkel som inte ingår mellan dem ( SSA ), om sidolängden intill vinkeln är kortare än den andra sidolängden.
• En sida och de två vinklarna intill den ( ASA )
• En sida, vinkeln motsatt den och en vinkel intill den ( AAS ).

För alla fall i planet måste minst en av sidolängderna anges. Om bara vinklarna anges kan sidlängderna inte bestämmas, eftersom vilken liknande triangel som helst är en lösning.

Trigonomiska relationer

Översikt över särskilda steg och verktyg som används vid lösning av plana trianglar

Standardmetoden för att lösa problemet är att använda grundläggande relationer.

Cosinuslagen

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

sinuslag

${ \frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

Vinkelsumman

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

Tangentlagen

${\frac {ab}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac { 1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.$

Det finns andra (ibland praktiskt användbara) universella relationer: lagen om cotangenter och Mollweides formel .

Anteckningar

1. För att hitta en okänd vinkel är cosinuslagen säkrare än sinuslagen . Anledningen är att värdet på sinus för triangelns vinkel inte entydigt bestämmer denna vinkel. Till exempel, om sin β = 0,5 , kan vinkeln β vara antingen 30° eller 150°. Genom att använda cosinuslagen undviks detta problem: inom intervallet från 0° till 180° bestämmer cosinusvärdet entydigt dess vinkel. Å andra sidan, om vinkeln är liten (eller nära 180°), så är det mer robust numeriskt att bestämma den från sin sinus än sin cosinus eftersom båg-cosinusfunktionen har en divergerande derivata vid 1 (eller −1) .
2. Vi antar att den relativa positionen för specificerade egenskaper är känd. Om inte kommer triangelns spegelreflektion också vara en lösning. Till exempel definierar tre sidlängder unikt antingen en triangel eller dess reflektion.

Tre sidor givna (SSS)

Tre sidor ges

Låt tre sidlängder a , b , c anges. För att hitta vinklarna α , β , kan cosinuslagen användas:

${\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\\[4pt]\beta &= \arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.\end{aligned}}$

Då är vinkeln γ = 180° − α − β .

Vissa källor rekommenderar att hitta vinkeln β från sinuslagen men (som not 1 ovan anger) finns det en risk att förväxla ett spetsigt vinkelvärde med ett trubbigt.

En annan metod för att beräkna vinklarna från kända sidor är att tillämpa lagen om cotangenter .

Två sidor och den inkluderade vinkeln given (SAS)

Två sidor och den medföljande vinkeln ges

Här är längderna av sidorna a , b och vinkeln γ mellan dessa sidor kända. Den tredje sidan kan bestämmas från cosinuslagen:

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}.$

Nu använder vi cosinuslagen för att hitta den andra vinkeln:

$\alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.$

Slutligen, β = 180° − α − γ .

Två sidor och ej inkluderad vinkel given (SSA)

Två sidor och en ej inkluderad vinkel ges

Två lösningar för triangeln

Detta fall är inte lösbart i alla fall; en lösning är garanterat unik endast om sidolängden intill vinkeln är kortare än den andra sidolängden. Antag att två sidor b , c och vinkeln β är kända. Ekvationen för vinkeln γ kan antydas från sinuslagen :

$\sin \gamma ={\frac {c}{b}}\sin \beta .$

Vi betecknar vidare D = c / b sin β (ekvationens högra sida). Det finns fyra möjliga fall:

1. Om D > 1 finns ingen sådan triangel eftersom sidan b inte når linjen BC . Av samma anledning finns ingen lösning om vinkeln β ≥ 90° och b ≤ c .
2. Om D = 1 finns en unik lösning: γ = 90° , dvs triangeln är rätvinklig .
3. Om D < 1 är två alternativ möjliga.
   1. Om b ≥ c , då β ≥ γ (den större sidan motsvarar en större vinkel). Eftersom ingen triangel kan ha två trubbiga vinklar γ en spetsig vinkel och lösningen γ = båge D är unik.
   2. Om b < c , kan vinkeln γ vara spetsig: γ = båge D eller trubbig: γ′ = 180° − γ . Figuren till höger visar punkten C , sidan b och vinkeln γ som den första lösningen, och punkten C′ , sidan b′ och vinkeln γ′ som den andra lösningen.

När γ väl har erhållits är den tredje vinkeln α = 180° − β − ​​γ .

Den tredje sidan kan sedan hittas från sinuslagen:

$a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}$

eller från cosinuslagen:

$a=c\cos \beta \pm {\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\ beta }}$

En sida och två angränsande vinklar givna (ASA)

En sida och två angränsande vinklar givna

De kända egenskaperna är sidan c och vinklarna α , β . Den tredje vinkeln γ = 180° − α − β .

Två okända sidor kan beräknas utifrån sinuslagen:

$a=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }};\quad b=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}.$

eller

$a=c{\frac {\sin \alpha }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }}$

$b=c{\frac {\sin \beta }{\sin \alpha \cos \beta +\ sin \beta \cos \alpha }}$

En sida, en angränsande vinkel och den motsatta vinkeln given (AAS)

Proceduren för att lösa en AAS-triangel är densamma som för en ASA-triangel: Hitta först den tredje vinkeln genom att använda egenskapen vinkelsumma för en triangel, hitta sedan de andra två sidorna med hjälp av sinuslagen .

Andra givna längder

I många fall kan trianglar lösas med tanke på tre delar av information, varav några är längden på triangelns medianer , höjder eller vinkelhalveringslinjer . Posamentier och Lehmann listar resultaten för frågan om lösbarhet med användning av högst kvadratrötter (dvs. konstruerbarhet ) för vart och ett av de 95 distinkta fallen; 63 av dessa är byggbara.

Lösa sfäriska trianglar

Sfärisk triangel

Den allmänna sfäriska triangeln bestäms helt av tre av dess sex egenskaper (3 sidor och 3 vinklar). Längden på sidorna a , b , c i en sfärisk triangel är deras centrala vinklar , mätt i vinkelenheter snarare än linjära enheter. (På en enhetssfär är vinkeln (i radianer ) och längden runt sfären numeriskt lika. På andra sfärer är vinkeln (i radianer) lika med längden runt sfären dividerat med radien.)

Sfärisk geometri skiljer sig från plan euklidisk geometri , så lösningen av sfäriska trianglar bygger på olika regler. Till exempel summan av de tre vinklarna α + β + γ på storleken på triangeln. Dessutom liknande trianglar inte vara ojämlika, så problemet med att konstruera en triangel med angivna tre vinklar har en unik lösning. De grundläggande relationerna som används för att lösa ett problem liknar de i det plana fallet: se sfärisk lag för cosinus och sfärisk lag för sinus .

Bland andra relationer som kan vara användbara är halvsidesformeln och Napiers analogier :

• $\tan {\frac {c}{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta } {2}}=\tan {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}$
• $\tan {\frac {c}{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta } {2}}=\tan {\frac {ab}{2}}\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}$
• $\cot {\frac {\gamma }{2}}\cos {\frac {ab}{2} }=\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}$
• $\cot {\frac {\gamma }{2}}\sin {\frac {ab}{2}}=\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}\sin {\frac {a+b}{2}}.$

Tre sidor ges

Tre sidor givna (sfärisk SSS)

Kända: sidorna a , b , c (i vinkelenheter). Triangelns vinklar beräknas med hjälp av den sfäriska lagen för cosinus :

$\alpha =\arccos \left({\frac {\cos a-\cos b\ \cos c} {\sin b\ \sin c}}\right),$

$\beta =\arccos \left({ \frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}}\right),$

$\gamma =\arccos \left({\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}}\right).$

Två sidor och den medföljande vinkeln ges

Två sidor och den inkluderade vinkeln given (sfärisk SAS)

Känd: sidorna a , b och vinkeln γ mellan dem. Sidan c kan hittas från den sfäriska lagen för cosinus:

$c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right).$

Vinklarna α , β kan beräknas enligt ovan, eller genom att använda Napiers analogier:

$\alpha =\arctan \ {\frac {2 \sin a}{\tan({\frac {\gamma }{2}})\sin(b+a)+\cot({\frac {\gamma}{2}})\sin(ba)}} ,$

$\beta =\arctan \ {\frac {2\sin b}{\tan({\frac {\gamma }{2}})\sin(a+b)+\cot({\frac {\ gamma }{2}})\sin(ab)}}.$

Detta problem uppstår i navigeringsproblemet att hitta den stora cirkeln mellan två punkter på jorden som specificeras av deras latitud och longitud; i denna applikation är det viktigt att använda formler som inte är mottagliga för avrundningsfel. För detta ändamål kan följande formler (som kan härledas med hjälp av vektoralgebra) användas:

${\begin{aligned}c&=\arctan {\frac {\sqrt {(\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma )^{2}+(\ sin b\sin \gamma )^{2}}}{\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma }},\\\alpha &=\arctan {\frac {\sin a\sin \gamma }{\sin b\cos a-\cos b\sin a\cos \gamma }},\\\beta &=\arctan {\frac {\sin b\sin \gamma }{\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma }},\end{aligned}}$

där tecknen för täljare och nämnare i dessa uttryck ska användas för att bestämma kvadranten av arctangens.

Två sidor och en ej inkluderad vinkel ges

Två sidor och ej inkluderad vinkel given (sfärisk SSA)

Detta problem är inte lösbart i alla fall; en lösning är garanterat unik endast om sidolängden intill vinkeln är kortare än den andra sidolängden. Känd: sidorna b , c och vinkeln β inte mellan dem. En lösning finns om följande villkor gäller:

$b>\arcsin(\sin c\,\sin \beta ).$

Vinkeln γ kan hittas från den sfäriska lagen för sinus :

$\gamma =\arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}\right).$

När det gäller planfallet, om b < c så finns det två lösningar: γ och 180° - γ .

Vi kan hitta andra egenskaper genom att använda Napiers analogier:

${\begin{aligned}a&=2\arctan \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(bc)\right){\frac {\sin \left({\tfrac) {1}{2}}(\beta +\gamma )\right)}{\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right)}}\right], \\[4pt]\alpha &=2\operatörsnamn {arccot} \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right){\frac {\sin \ vänster({\tfrac {1}{2}}(b+c)\höger)}{\sin \left({\tfrac {1}{2}}(bc)\höger)}}\höger].\ end{aligned}}$

En sida och två angränsande vinklar givna

En sida och två angränsande vinklar givna (sfärisk ASA)

Känd: sidan c och vinklarna α , β . Först bestämmer vi vinkeln γ med hjälp av den sfäriska lagen för cosinus :

$\gamma =\arccos(\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta ).\,$

Vi kan hitta de två okända sidorna från den sfäriska lagen för cosinus (med den beräknade vinkeln γ ):

$a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right),$

$b=\arccos \left( {\frac {\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma }{\sin \alpha \sin \gamma }}\right),$

eller genom att använda Napiers analogier:

${\begin{aligned}a&=\arctan \left[{\frac {2\sin \alpha }{\cot({\frac {c}{2}})\sin(\beta +\alpha ) +\tan({\frac {c}{2}})\sin(\beta -\alpha )}}\right],\\[4pt]b&=\arctan \left[{\frac {2\sin \ beta }{\cot({\frac {c}{2}})\sin(\alpha +\beta )+\tan({\frac {c}{2}})\sin(\alpha -\beta ) }}\right].\end{aligned}}$

En sida, en angränsande vinkel och den motsatta vinkeln ges

En sida, en angränsande vinkel och den motsatta vinkeln given (sfärisk AAS)

Känd: sidan a och vinklarna α , β . Sidan b kan hittas från den sfäriska lagen för sinus :

$b=\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).$

Om vinkeln för sidan a är spetsig och α > β finns en annan lösning:

$b=\pi -\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).$

Vi kan hitta andra egenskaper genom att använda Napiers analogier:

${\begin{aligned}c&=2\arctan \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(ab)\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}}\right], \\[4pt]\gamma &=2\operatörsnamn {arccot} \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right){\frac {\sin \ vänster({\tfrac {1}{2}}(a+b)\höger)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(ab)\höger)}}\höger].\ end{aligned}}$

Tre vinklar givna

Tre vinklar givna (sfärisk AAA)

Kända: vinklarna α , β , γ . Från den sfäriska lagen om cosinus drar vi slutsatsen:

$a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right),$

$b=\arccos \left( {\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right),$

$c=\arccos \left({\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\right).$

Lösa rätvinkliga sfäriska trianglar

Algoritmerna ovan blir mycket enklare om en av vinklarna i en triangel (till exempel vinkeln C ) är den räta vinkeln. En sådan sfärisk triangel är helt definierad av sina två element, och de andra tre kan beräknas med hjälp av Napiers Pentagon eller följande relationer.

$\sin a=\sin c\cdot \sin A$ (från den sfäriska sinuslagen )

$\ tan a=\sin b\cdot \tan A$

$\cos c=\cos a\cdot \cos b$ (från den sfäriska lagen om cosinus )

$\tan b=\tan c\cdot \cos A$

$\cos A=\cos a\cdot \sin B$ (även från den sfäriska lagen för cosinus)

$\cos c=\cot A\cdot \cot B$

Vissa applikationer

Triangulering

Avståndsmätning genom triangulering

Huvudartikel: Triangulering

Om man vill mäta avståndet d från land till ett avlägset fartyg via triangulering, markerar man på stranden två punkter med känt avstånd l mellan dem (baslinjen). Låt α , β vara vinklarna mellan baslinjen och riktningen till fartyget.

Från formlerna ovan (ASA-fallet, med antagande av plan geometri) kan man beräkna avståndet som triangelhöjden :

$d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta } {\tan \alpha +\tan \beta }}\ell .$

För det sfäriska fallet kan man först beräkna längden på sidan från punkten vid α till fartyget (dvs sidan motsatt β ) via ASA-formeln

$\tan b={\frac {2 \sin \beta }{\cot(l/2)\sin(\alpha +\beta )+\tan(l/2)\sin(\alpha -\beta )}},$

och infoga detta i AAS-formeln för den högra subtriangeln som innehåller vinkeln α och sidorna b och d :

$\sin d=\sin b\sin \alpha ={\frac {\tan b}{\sqrt {1+\tan ^{2}b}}}\sin \alpha .$

(Den plana formeln är faktiskt den första termen i Taylor-expansionen av d i den sfäriska lösningen i potenserna l .)

Denna metod används vid cabotage . Vinklarna α , β definieras genom observation av välbekanta landmärken från fartyget.

Hur man mäter ett bergs höjd

Som ett annat exempel, om man vill mäta höjden h för ett berg eller en hög byggnad, anges vinklarna α , β från två markpunkter till toppen. Låt ℓ vara avståndet mellan dessa punkter. Från samma ASA-fallformler får vi:

$h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta } {\tan \beta -\tan \alpha }}\ell .$

Avståndet mellan två punkter på jordklotet

Huvudartikel: Storcirkelavstånd

För att beräkna avståndet mellan två punkter på jordklotet,

Punkt A: latitud λ _A , longitud LA _λ , och

punkt B: latitud B _, longitud L _B

vi betraktar den sfäriska triangeln ABC , där C är nordpolen. Några egenskaper är:

${\displaystyle a=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {B} },\,} b = 90 o$

$= 90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {A}},\,}$

$\gamma =L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }.\,$

Om två sidor och den inkluderade vinkeln ges , får vi från formlerna

$\mathrm {AB} =R\arccos \left[\sin \lambda _{\mathrm {A} }\,\sin \lambda _{\mathrm {B} }+\cos \lambda _{\mathrm {A} }\,\cos \lambda _{\mathrm {B} }\,\cos \left(L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\right)\right].$

Här är R jordens radie .

Se även

• Kongruens
• Hansens problem
• Gångjärnssats
• Lénart sfär
• Snellius–Pothenot problem

•   Euclid (1956) [1925]. Sir Thomas Heath (red.). Elementens tretton böcker. Volym I. Översatt med inledning och kommentar. Dover. ISBN 0-486-60088-2 .

externa länkar

• Trigonometric Delights , av Eli Maor , Princeton University Press, 1998. E-boksversion, i PDF-format, fulltext presenterad.
• Trigonometri av Alfred Monroe Kenyon och Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. I bilder, fulltext presenterad. Google bok.
• Sfärisk trigonometri på Math World.
• Introduktion till Spherical Trig. Inkluderar diskussion om Napier-cirkeln och Napiers regler
• Sfärisk trigonometri — för användning av högskolor och skolor av I. Todhunter, MA, FRS Historical Math Monograph postad av Cornell University Library .
• Triangulator – Triangellösare. Lös alla plantriangelproblem med ett minimum av indata. Ritning av den lösta triangeln.
• TriSph – Gratis programvara för att lösa de sfäriska trianglarna, konfigurerbar för olika praktiska applikationer och konfigurerad för gnomonisk.
• Sfärisk triangelkalkylator – Löser sfäriska trianglar.
• TrianCal – Trianglarlösare av Jesus S.