Snellius–Pothenot problem

Snellius –Pothenot-problemet är ett problem vid planmätning . Givet tre kända punkter A, B och C, observerar en observatör vid en okänd punkt P att segmentet AC underordnar en vinkel $\alpha$ och segmentet CB understräcker en vinkel $\beta$ ; problemet är att bestämma positionen för punkten P. (Se figur; punkten betecknad C är mellan A och B sett från P).

Eftersom det handlar om observation av kända punkter från en okänd punkt, är problemet ett exempel på resektion . Historiskt studerades den först av Snellius , som hittade en lösning runt 1615.

Formulera ekvationerna

Första ekvationen

Genom att beteckna de (okända) vinklarna CAP som x och CBP som y får vi:

x+y=2\pi -\alpha -\beta -C

genom att använda summan av vinkelformeln för fyrhörningen PACB . Variabeln C representerar den (kända) inre vinkeln i denna fyrhörning vid punkt C . (Observera att i fallet där punkterna C och P är på samma sida av linjen AB , kommer vinkeln C att vara större än $\pi$ ).

Andra ekvationen

Genom att tillämpa sinuslagen i trianglarna PAC och PBC kan vi uttrycka PC på två olika sätt:

{\frac {{\rm {AC}}\sin x}{\sin \alpha }}={\rm {PC}}={\frac {{\rm {BC}}\sin y}{ \sin \beta }}.

Ett användbart knep vid denna punkt är att definiera en hjälpvinkel $\phi$ så att

\tan \phi ={\frac {{\rm {BC}}\sin \alpha }{{\rm {AC}}\sin \beta }}.

(En liten anmärkning: vi bör vara oroliga för division med noll, men tänk på att problemet är symmetriskt, så om en av de två givna vinklarna är noll kan vi, om det behövs, byta namn på den vinkeln alfa och kalla den andra (icke-noll) ) vinkel beta, även omvända rollerna för A och B. Detta kommer att räcka för att garantera att förhållandet ovan är väldefinierat. Ett alternativt tillvägagångssätt till nollvinkelproblemet ges i algoritmen nedan.)

Med denna substitution blir ekvationen

{\frac {\sin x}{\sin y}}=\tan \phi .

Vi kan använda två kända trigonometriska identiteter , nämligen

\tan \left({\frac {\pi }{4}}-\phi \right)={\frac {1 -\tan \phi }{\tan \phi +1}}

och

{\frac {\tan[(xy)/2]}{\tan[(x+y)/2]}}={\frac {\sin x-\sin y}{\ sin x+\sin y}}

för att sätta detta i form av den andra ekvationen behöver vi ^{[ varför? ]}

\tan {\frac {1}{2}}(xy)=\tan {\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +C)\tan \left({\frac {\ pi }{4}}-\phi \right).

Vi måste nu lösa dessa två ekvationer i två okända. När x och y väl är kända kan de olika trianglarna lösas enkelt för att bestämma positionen för P. Den detaljerade proceduren visas nedan.

Lösningsalgoritm

Givet två längder AC och BC , och tre vinklar $\alpha$ , $\beta$ och C , går lösningen tillväga enligt följande.

beräkna $\phi =\operatörsnamn {atan2} ({\rm {BC}}\sin \alpha ,{\rm {AC}}\ sin \beta )$ . Där atan2 är en datorfunktion , även kallad arctangens av två argument, som returnerar arctangens av förhållandet mellan de två givna värdena. Observera att i Microsoft Excel är de två argumenten omvända, så den korrekta syntaxen skulle vara ' ${\displaystyle ={\rm {atan2(AC^{*}\backslash \sin(beta),BC^{*}\backslash \sin(alpha))}}} '$ . Atan2-funktionen hanterar korrekt fallet där ett av de två argumenten är noll.
beräkna $K=2\pi -\alpha -\beta -C.$
beräkna $W=2\cdot \operatörsnamn {atan} \left[\tan(\pi /4-\phi )\tan \left({\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +C )\eller hur].$
hitta $x=(K+W)/2$ och $y=(KW)/2.$
om $|\sin \beta |>|\sin \alpha |$ beräkna ${\rm {PC}}={\frac {{\rm {BC} }\sin y}{\sin \beta }}$ använd annars ${\rm {PC}}={\frac {{\rm {AC}}\sin x}{\sin \alpha }}.$
hitta ${\displaystyle {\rm {PA}}={\sqrt {{\rm {AC}}^{2}+{\rm {PC}}^{2}-2\cdot {\rm {AC}}\ cdot {\rm {PC}}\cdot \cos(\pi -\alpha -x)}}.} ($ Detta kommer från cosinuslagen . )
hitta ${\rm {PB}}={\sqrt {{\rm {BC}}^{2}+{\rm {PC}}^{2}-2\cdot {\rm {BC}}\ cdot {\rm {PC}}\cdot \cos(\pi -\beta -y)}}.$

Om koordinaterna för $A:x_{A},y_{A}$ och $C:x_{C},y_{C}$ är känt i något lämpligt kartesiskt koordinatsystem kan koordinaterna för $P$ också hittas.

Geometrisk (grafisk) lösning

Enligt den inskrivna vinkelsatsen är lokuset för punkter från vilka AC går en vinkel $\alpha$ en cirkel som har sitt centrum på AC:s mittlinje; från mitten O av denna cirkel bildar AC en vinkel $2\alpha$ . På liknande sätt är lokuset för punkter från vilka CB övergår en vinkel $\beta$ en annan cirkel. Den önskade punkten P är i skärningspunkten mellan dessa två loci.

Därför kan följande grafiska konstruktion användas på en karta eller sjökort som visar punkterna A, B, C:

Rita segmentet AC, mittpunkten M och mittlinjen, som korsar AC vinkelrätt vid M. På denna linje hitta punkten O så att $MO={\frac {AC}{2 \tan \alpha }}$ . Rita cirkeln med centrum vid O genom A och C.
Upprepa samma konstruktion med punkterna B, C och vinkeln $\beta$ .
Markera P vid skärningspunkten mellan de två cirklarna (de två cirklarna skär varandra i två punkter; en skärningspunkt är C och den andra är den önskade punkten P.)

Denna lösningsmetod kallas ibland för Cassinis metod .

Rationell trigonometrisk metod

Följande lösning är baserad på en artikel av NJ Wildberger. Det har fördelen att det nästan är rent algebraiskt. Det enda stället där trigonometri används är att konvertera vinklarna till spridningar . Det krävs bara en kvadratrot .

definiera följande:
- $s(x)=\sin ^{2}(x)$
- $A(x,y,z)=(x+y+z)^{ 2}-2(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
- $r_{1}=s(\beta )$
- $r_{2}=s(\alpha )$
- $r_{3}=s(\alpha +\beta )$
- $Q_{1}=BC^{2}$
- $Q_{2}=AC^{2}$
- $Q_{3}=AB^{2}$
låt nu:
- $R_{1}=r_{2}Q_{3}/r_{3}$
- $R_{2}=r_{1}Q_{3}/r_{3}$
- $\ displaystyle C_{0}=((Q_{1}+Q_{2}+Q_{3})(r_{1}+r_{2}+r_{3})-2(Q_{1}r_{1} +Q_{2}r_{2}+Q_{3}r_{3}))/(2r_{3})}$
- $D_{0}=r_{1}r_{2}A(Q_{1},Q_{2},Q_{ 3})/r_{3}$
följande ekvation ger två möjliga värden för $R_{3}$ $R_{3}$ :
- $(R_{3}-C_{0})^{2}=D_{0 }$
genom att välja det största av dessa värden, låt:
- $v_{1}=1-(R_{1}+R_{3}-Q_{2}) ^{2}/(4R_{1}R_{3})$
- $v_{2}=1-(R_{2}+R_{3}-Q_{1}) ^{2}/(4R_{2}R_{3})$
äntligen får vi:
- $AP^{2}=v_{1}R_{1}/r_{2}=v_{1}Q_{3} /r_{3}$
- $BP^{2}=v2R_{2}/r_{1}=v_{2}Q_{3}/r_{3 }$

Det obestämda fallet

När punkten P råkar vara belägen på samma cirkel som A, B och C har problemet ett oändligt antal lösningar; Anledningen är att från vilken annan punkt P' som helst som ligger på cirkelbågen APB i denna cirkel ser betraktaren samma vinklar alfa och beta som från P ( inskrivet vinkelsats) . Sålunda är lösningen i detta fall inte entydigt bestämd.

Cirkeln genom ABC är känd som "farocirkeln", och observationer som görs på (eller mycket nära) denna cirkel bör undvikas. Det är bra att rita upp denna cirkel på en karta innan du gör observationerna.

Ett teorem om cykliska fyrhörningar är till hjälp för att upptäcka den obestämda situationen. Fyrhörningen APBC är cyklisk om ett par av motsatta vinklar (såsom vinkeln vid P och vinkeln vid C) är kompletterande dvs. iff $\ alfa +\beta +C=k\pi ,(k=1,2,\cdots )$ . Om detta villkor uppfylls bör dator/kalkylbladsberäkningarna stoppas och ett felmeddelande ("obestämt fall") returneras.

Lösta exempel

(Anpassad form Bowser, övning 140, sid 203). A, B och C är tre objekt så att AC = 435 ( yards ), CB = 320 och C = 255,8 grader. Från en station P observeras att APC = 30 grader och CPB = 15 grader. Hitta avstånden för P från A , B och C . (Observera att i detta fall ligger punkterna C och P på samma sida av linjen AB, en annan konfiguration än den som visas i figuren).

Svar: PA = 790, PB = 777, PC = 502.

Ett lite mer utmanande testfall för ett datorprogram använder samma data men denna gång med CPB = 0. Programmet bör returnera svaren 843, 1157 och 837.

Namnkontrovers

Tavla på Snellius hus i Leiden

Den brittiska auktoriteten på geodesi, George Tyrrell McCaw (1870–1942) skrev att den korrekta termen på engelska var Snelliusproblem , medan Snellius-Pothenot var den kontinentaleuropeiska användningen.

McCaw tyckte att namnet Laurent Pothenot (1650–1732) inte förtjänade att inkluderas eftersom han inte hade lämnat något ursprungliga bidrag, utan bara upprepade Snellius 75 år senare.

Se även

Anteckningar

Gerhard Heindl: Analysering av Willerdings formel för att lösa det plana trepunktsresektionsproblemet , Journal of Applied Geodesy, Band 13, Heft 1, Seiten 27–31, ISSN (Online) 1862-9024, ISSN (Print) 1862-9016, DOI: [ 1]

Edward A. Bowser: A treatise on plane and spherical trigonometry , Washington DC, Heath & Co., 1892, sidan 188 Google-böcker