Halvsidesformel

Sfärisk triangel

I sfärisk trigonometri relaterar halvsideformeln vinklarna och längderna på sidorna av sfäriska trianglar , som är trianglar ritade på ytan av en sfär och har krökta sidor och inte lyder formlerna för plana trianglar.

Formler

På en enhetssfär är formlerna på halvsidan

{\ start{aligned}\tan \left({\frac {a}{2}}\right)&=R\cos(SA)\\[8pt]\tan \left({\frac {b}{2}} \right)&=R\cos(SB)\\[8pt]\tan \left({\frac {c}{2}}\right)&=R\cos(SC)\end{aligned}}

var

a , b , c är längderna på sidorna respektive motsatta vinklar A , B , C ,
$S={\frac {1}{2}}(A+B+C)$ är halva summan av vinklarna, och
$R={\sqrt {\frac {-\cos S}{\cos(SA)\cos(SB)\cos(SC)}}}.$

De tre formlerna är egentligen samma formel, med namnen på variablerna permuterade.

För att generalisera till en sfär med godtycklig radie r måste längderna a , b , c ersättas med

$a\rightarrow a/r$
$b\rightarrow b/r$
$c\rightarrow c/r$

så att a , b , c alla har längdskalor, istället för vinkelskalor.

Se även