Summan av vinklarna i en triangel

I ett euklidiskt utrymme är summan vinklarna i en triangel av lika med den räta vinkeln (180 grader , $π$ radianer , två räta vinklar eller ett halvt varv ). En triangel har tre vinklar, en vid varje vertex , som begränsas av ett par intilliggande sidor .

Det var länge okänt om det finns andra geometrier, för vilka denna summa är annorlunda. Detta problems inflytande på matematiken var särskilt starkt under 1800-talet. I slutändan visade sig svaret vara positivt: i andra utrymmen (geometrier) kan denna summa vara större eller mindre, men den måste då bero på triangeln. Dess skillnad från 180° är ett fall av vinkeldefekt och fungerar som en viktig distinktion för geometriska system.

Ekvivalens av parallellpostulatet och "vinklarnas summa är lika med 180°"-satsen

Fall

Euklidisk geometri

I euklidisk geometri säger triangelpostulatet att summan av vinklarna i en triangel är två räta vinklar . Detta postulat motsvarar parallellpostulatet . I närvaro av de andra axiomen för euklidisk geometri är följande uttalanden ekvivalenta:

Triangelpostulat : Summan av vinklarna i en triangel är två räta vinklar.
Playfairs axiom : Givet en rät linje och en punkt som inte ligger på linjen, kan exakt en rät linje dras genom punkten parallell med den givna linjen.
Proclus' axiom : Om en linje skär en av två parallella linjer måste den också skära den andra.
Likavståndspostulat : Parallella linjer är överallt lika långt (dvs avståndet från varje punkt på en linje till den andra linjen är alltid detsamma.)
Triangel area egenskap : Arean av en triangel kan vara så stor som vi vill.
Three points egenskap : Tre punkter ligger antingen på en linje eller ligger på en cirkel .
Pythagoras sats : I en rätvinklig triangel är hypotenusans kvadrat lika med summan av kvadraterna på de två andra sidorna.

Hyperbolisk geometri

Summan av vinklarna i en hyperbolisk triangel är mindre än 180°. Förhållandet mellan vinkeldefekt och triangelns område bevisades först av Johann Heinrich Lambert .

Man kan lätt se hur hyperbolisk geometri bryter Playfairs axiom, Procluss axiom (parallellen, definierad som icke-skärning, är intransitiv i ett hyperboliskt plan), ekvidistanspostulatet (punkterna på ena sidan av, och på samma avstånd från, en given linje bildar inte en linje), och Pythagoras sats. En cirkel kan inte ha en godtyckligt liten krökning , så egenskapen tre punkter misslyckas också.

Summan av vinklarna kan vara godtyckligt liten (men positiv). För en ideal triangel , en generalisering av hyperboliska trianglar, är denna summa lika med noll.

Sfärisk geometri

För en sfärisk triangel är summan av vinklarna större än 180° och kan vara upp till 540°. Specifikt är summan av vinklarna

180° × (1 + 4 f ),

där f är den del av sfärens yta som omges av triangeln.

Observera att sfärisk geometri inte uppfyller flera av Euklids axiom (inklusive parallellpostulatet .)

Utvändiga vinklar

Bilden visar exteriöra vinklar tillsammans med invändiga vinklar, för spetsen längst till höger visas den som = / )

Vinklar mellan intilliggande sidor av en triangel kallas inre vinklar i euklidiska och andra geometrier. Yttre vinklar kan också definieras, och det euklidiska triangelpostulatet kan formuleras som yttervinkelsatsen . Man kan också betrakta summan av alla tre yttre vinklar, som är lika med 360° i det euklidiska fallet (som för alla konvexa polygoner ), är mindre än 360° i det sfäriska fallet och är större än 360° i det hyperboliska fallet.

I differentialgeometri

I ytornas differentialgeometri förstås frågan om en triangels vinkeldefekt som ett specialfall av Gauss-Bonnet-satsen där krökningen av en sluten kurva inte är en funktion, utan ett mått med stödet i exakt tre punkter – hörn av en triangel.

Se även

Euklids element
Grunder för geometri
Hilberts axiom
Saccheri quadrilateral (betraktad tidigare än Saccheri av Omar Khayyám )
Lambert fyrhörning

^ ^a ^b Eric W. Weisstein (2003). CRC kortfattad encyklopedi av matematik (2:a uppl.). sid. 2147. ISBN 1-58488-347-2 . Parallellpostulatet är ekvivalent med Equidistance-postulatet , Playfair-axiomet , Proclus-axiomet , Triangelpostulatet och Pythagoras sats .
^ Keith J. Devlin (2000). Matematikens språk: Att göra det osynliga synligt . Macmillan. sid. 161. ISBN 0-8050-7254-3 .
^ I huvudsak parallellismens transitivitet .
^ Ratcliffe, John (2006), Foundations of Hyperbolic Manifolds , Graduate Texts in Mathematics, vol. 149, Springer, sid. 99, ISBN 9780387331973 , Att arean av en hyperbolisk triangel är proportionell mot dess vinkeldefekt dök först upp i Lamberts monografi Theorie der Parallellinien , som publicerades postumt 1786.
^ Definierat som uppsättningen punkter på det fasta avståndet från dess centrum.
^ Definierat i differentiellt-geometrisk betydelse.
^ Från definitionen av en yttre vinkel, summeras den till den raka vinkeln med de inre vinklarna. Så summan av tre yttre vinklar adderad till summan av tre inre vinklar ger alltid tre räta vinklar.

[Parallel-1] Eric W. Weisstein (2003). CRC kortfattad encyklopedi av matematik (2:a uppl.). sid. 2147. ISBN 1-58488-347-2 . Parallellpostulatet är ekvivalent med Equidistance-postulatet , Playfair-axiomet , Proclus-axiomet , Triangelpostulatet och Pythagoras sats .

[Devlin-2] Keith J. Devlin (2000). Matematikens språk: Att göra det osynliga synligt . Macmillan. sid. 161. ISBN 0-8050-7254-3 .

[3] I huvudsak parallellismens transitivitet .

[4] Ratcliffe, John (2006), Foundations of Hyperbolic Manifolds , Graduate Texts in Mathematics, vol. 149, Springer, sid. 99, ISBN 9780387331973 , Att arean av en hyperbolisk triangel är proportionell mot dess vinkeldefekt dök först upp i Lamberts monografi Theorie der Parallellinien , som publicerades postumt 1786.

[5] Definierat som uppsättningen punkter på det fasta avståndet från dess centrum.

[6] Definierat i differentiellt-geometrisk betydelse.

[7] Från definitionen av en yttre vinkel, summeras den till den raka vinkeln med de inre vinklarna. Så summan av tre yttre vinklar adderad till summan av tre inre vinklar ger alltid tre räta vinklar.