Hermitisk sort

Hermitiska varianter är på sätt och vis en generalisering av quadrics och förekommer naturligt i teorin om polariteter.

Definition

Låt K vara ett fält med en involutiv automorfism $\theta$ . Låt n vara ett heltal $\geq 1$ och V vara ett (n+1) -dimensionellt vektorrum över K .

En hermitisk variant H i PG(V) är en uppsättning punkter av vilka de representerande vektorlinjerna består av isotropa punkter av en icke-trivial hermitisk sesquilinjär form på V .

Representation

Låt $e_{0},e_{1},\ldots ,e_{n}$ vara en grund för V . Om en punkt p i det projektiva rummet har homogena koordinater $(X_{0},\ldots ,X_{n})$ med avseende på denna grund, är det på den hermitiska varianten om och bara om:

$\sum _{i,j=0}^{n}a_{ij}X_{i}X_{j}^{\theta }= 0$

där $a_{ij}=a_{ji}^{\theta }$ och inte alla $a_{ij}=0$

Om man konstruerar den hermitiska matrisen A med $A_{ij}=a_{ij}$ kan ekvationen skrivas på ett kompakt sätt:

$X^{t}AX^{\theta }=0$

där $X={\begin{bmatrix}X_{0}\\X_{1}\\\vdots \\X_{n}\end{bmatrix}}.$

Tangenta utrymmen och singularitet

Låt p vara en punkt på den hermitiska sorten H . En linje L till p är per definition tangent när den bara innehåller en punkt ( p själv) av sorten eller ligger helt på sorten. Man kan bevisa att dessa linjer bildar ett delrum, antingen ett hyperplan av hela rummet. I det senare fallet är poängen singular.