Dirichlet form

I potentiell teori (studiet av övertonsfunktion ) och funktionell analys generaliserar Dirichlets former Laplacian (den matematiska operatorn på skalära fält). Dirichlet-former kan definieras på vilket måttutrymme som helst , utan att man behöver nämna partiella derivator . Detta gör det möjligt för matematiker att studera Laplace-ekvationen och värmeekvationen på utrymmen som inte är mångfaldiga , till exempel fraktaler . Fördelen med dessa utrymmen är att man kan göra detta utan att behöva en gradientoperator , och i synnerhet kan man till och med svagt definiera en "Laplacian" på detta sätt om man börjar med Dirichlet-formen.

Definition

När du arbetar med $\mathbb {R} ^{n}$ ges den "klassiska" Dirichlet-formen av:

$${\mathcal {E}}(u,v)=\int _{\mathbb {R} ^{ n}}\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\;dx$$

där man ofta diskuterar ${\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u) =\|\nabla u\|_{2}^{2}$ som ofta kallas "energin" för funktionen $u(x)$ .

Mer generellt är en Dirichlet-form en Markovsk sluten symmetrisk form på ett L ² -mellanrum . I synnerhet är en Dirichlet-form på ett måttutrymme $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ en bilinjär funktion

$${\mathcal {E}}:D\times D\to \mathbb {R}$$

Så att

1. $D$ är en tät delmängd av $L^{2}(\mu )$ .
2. ${\mathcal {E}}$ är symmetrisk, det vill säga ${\mathcal {E}}(u,v)={\mathcal { E}}(v,u)$ för varje $u,v\in D$ .
3. ${\mathcal {E}}(u,u)\geq 0$ för varje $u\in D$ .
4. Mängden $D$ utrustad med den inre produkten definierad av ${\displaystyle (u,v)_{ \mathcal {E}}:=(u,v)_{L^{2}(\mu )}+{\mathcal {E}}(u,v)} är ett riktigt Hilbert-utrymme$ .
5. För varje $u\in D$ har vi att $u_{*}=\min(\max(u,0), 1)\in D$ och ${\mathcal {E}}(u_{*},u_{*})\leq {\mathcal {E }}(u,u)$ .

Med andra ord är en Dirichlet-form inget annat än en icke-negativ symmetrisk bilinjär form definierad på en tät delmängd av $L^{2}(X,\mu )$ så att 4) och 5 ) håll.

Alternativt är den kvadratiska formen $u\mapsto {\mathcal {E}}(u,u)$ i sig känd som Dirichletformen och den betecknas fortfarande med ${ \mathcal {E}}$ , alltså ${\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)$ .

Harmoniska funktioner

Funktioner som minimerar energin givet vissa randvillkor kallas harmonisk, och den associerade Laplacian (svag eller inte) kommer att vara noll på insidan, som förväntat.

Låt till exempel ${\mathcal {E}}$ vara standard Dirichlet-form definierad för $u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n })$ som

$${\mathcal {E}}(u)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{2}\;dx$$

Då kommer en harmonisk funktion i standardbemärkelse, dvs sådan att ${\displaystyle \Delta u=0} ,$ ha ${\mathcal {E}}(u)=0$ som kan ses med integration av delar.

Som ett alternativt exempel ges standardgrafen Dirichlets form av:

$${\mathcal {E}}_{G}( u,v)=\summa _{x\sim y}((u(x)-u(y))(v(x)-v(y))$$

där $x\sim y$ betyder att de är förbundna med en kant. Låt en delmängd av vertexmängden väljas och kalla den grafens gräns. Tilldela ett Dirichlet-gränsvillkor (välj reella tal för varje gränspunkt). Man kan hitta en funktion som minimerar grafenergin, och den blir harmonisk. I synnerhet kommer den att uppfylla medelvärdesegenskapen, som förkroppsligas av grafen Laplacian, det vill säga om $u_{G}(x)$ är en grafharmonisk

$$\Delta _{G}u_{G}(x)=\summa _{y\sim x}(u_{G}(y)-u_{G}(x))=0$$

vilket motsvarar medelvärdesfastigheten

$$u_{G}(x)={\frac {1}{|\{y:y\sim x\}|}}\summa _{y\sim x}u_{G}(y).$$

Tekniskt sett studeras sådana objekt i abstrakt potentialteori, baserad på den klassiska Dirichlets princip . Teorin om Dirichlet-former har sitt ursprung i arbetet av Beurling och Deny ( 1958 , 1959 ) om Dirichlet-utrymmen.

Integrerade kärnor

Ett annat exempel på en Dirichlet-form ges av

$${\mathcal {E}}(u)=\iint _ {\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}(u(y)-u(x))^{2}k(x,y)\,dx\,dy$$

där ${\displaystyle k:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } är någon icke-$ negativ symmetrisk integral kärna .

Om kärnan $k$ uppfyller det bundna $k(x,y)\leq \Lambda |xy|^{-ns}$ , då är den kvadratiska formen avgränsad i ${\dot {H}}^ {s/2}$ . Om dessutom ${\displaystyle \lambda |xy|^{-ns}\leq k(x,y)} ,$ då är formen jämförbar med normen i ${\ displaystyle {\dot {H}}^{s/2}}$ i kvadrat och i så fall mängden $D\subset L^{2}(\mathbb {R} ^{n })$ som definieras ovan ges av $H^{s/2}(\mathbb {R} ^{n})$ . Sålunda är Dirichlet-former naturliga generaliseringar av Dirichlet-integralerna

$${\mathcal {E}}(u)=\int (A\nabla u,\nabla u)\;dx,$$

där $A(x)$ är en positiv symmetrisk matris. Euler-Lagrange-ekvationen för en Dirichlet-form är en icke-lokal analog till en elliptisk ekvation i divergensform. Ekvationer av denna typ studeras med hjälp av variationsmetoder och de förväntas uppfylla liknande egenskaper.

•   Beurling, Arne; Deny, J. (1958) , "Espaces de Dirichlet. I. Le cas élémentaire", Acta Mathematica , 99 (1): 203–224, doi : 10.1007/BF02392426 , ISSN 0001-5962 , 892009  
•       Beurling, Arne; Deny, J. (1959), "Dirichlet spaces", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 45 ( 2): 208–215, Bibcode : 1959PNAS...45..208B , doi : 10.1073 /pnas.45.2.208 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 90170 , MR 0106365 , PMC 222537 , PMID 16590372
•    Fukushima, Masatoshi (1980), Dirichlet-former och Markov-processer , North-Holland Mathematical Library, vol. 23, Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-85421-6 , MR 0569058
•    Jost, Jürgen; Kendall, Wilfrid; Mosco, Umberto; Röckner, Michael; Sturm, Karl-Theodor (1998), New directions in Dirichlet forms , AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, vol. 8, Providence, RI: American Mathematical Society, sid. xiv+277, ISBN 978-0-8218-1061-3 , MR 1652277 .
• "Abstract potential theory" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]