Kummer summa

I matematik är Kummer summa namnet på vissa kubiska Gauss-summor för en primmodul p , med p kongruent med 1 modulo 3. De är uppkallade efter Ernst Kummer , som gjorde en gissning om de statistiska egenskaperna hos deras argument, som komplexa tal . Dessa summor var kända och användes före Kummer, i teorin om cyklotomi .

Definition

En Kummer summa är därför en finit summa

$\sum \chi (r)e(r/p)=G(\chi )$

tagit över r modulo p , där χ är ett Dirichlet-tecken som tar värden i kubrötter av unity , och där e ( x ) är exponentialfunktionen exp(2π ix ). Givet p i den obligatoriska formen, finns det två sådana tecken, tillsammans med den triviala karaktären.

Den kubiska exponentialsumman K ( n , p ) definierad av

$K(n,p)=\summa _{x=1}^{p}e(nx^{3}/ p)$

ses lätt som en linjär kombination av Kummersummorna. I själva verket är det 3 P där P är en av Gaussperioderna för undergruppen av index 3 i resterna mod p , under multiplikation, medan Gausssummorna är linjära kombinationer av P med kubrötter av enhet som koefficienter. Det är dock Gauss summan som de algebraiska egenskaperna gäller. Sådana kubikexponentiella summor kallas nu också för Kummersummor.

Statistiska frågor

Det är känt från den allmänna teorin om Gauss summerar det

$|G(\chi )|={\sqrt {p}}.\,$

Faktum är att den primära nedbrytningen av G ( χ ) i det cyklotomiska fältet den naturligt ligger i är känd, vilket ger en starkare form. Det som Kummer var intresserad av var argumentet

$\theta _{p}\,$

av G ( χ ). Till skillnad från det kvadratiska fallet, där kvadraten på Gausssumman är känd och den exakta kvadratroten bestämdes av Gauss, ligger här kuben av G ( χ ) i Eisensteins heltal , men dess argument bestäms av Eisensteins primtalsdividing p , som delar sig i det fältet.

Kummer gjorde en statistisk gissning om θ _p och dess fördelning modulo 2π (med andra ord på argumentet för Kummersumman på enhetscirkeln). För att det ska vara meningsfullt måste man välja mellan de två möjliga χ: det finns ett distingerat val, i själva verket baserat på kubisk restsymbol . Kummer använde tillgängliga numeriska data för p upp till 500 (detta beskrivs i boken Theory of Numbers från 1892 av George B. Mathews ). Det fanns emellertid en "lag om små siffror", vilket innebar att Kummers ursprungliga gissning, om bristande enhetlig fördelning, led av en partiskhet i ett litet antal. 1952 John von Neumann och Herman Goldstine Kummers beräkningar på ENIAC . Beräkningarna programmerades och kodades av Hedvig Selberg men hennes arbete bekräftades först i slutet av uppsatsen, på samma sätt som med Mary Tsingou om Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou-problemet (tidigare Fermi–Pasta–Ulam-problemet).

På 1900-talet gjordes äntligen framsteg i denna fråga, som hade lämnats orörd i över 100 år. Byggande på arbete av Tomio Kubota , motbevisade SJ Patterson och Roger Heath-Brown 1978 Kummers gissningar och bevisade en modifierad form av Kummer-förmodan. Faktum är att de visade att det fanns en jämnfördelning av θ _p . Detta arbete involverade automorfa former för den metaplektiska gruppen och Vaughans lemma i analytisk talteori . År 2000 uppnåddes ytterligare förbättringar av Heath-Brown.

Cassels gissningar

En andra gissning om Kummer-summor gjordes av JWS Cassels , som återigen bygger på Tomio Kubotas tidigare idéer. Detta var en produktformel i termer av elliptiska funktioner med komplex multiplikation med Eisenstein-heltalen. Gissningen bevisades 1978 av Charles Matthews.

Pattersons gissning

1978 antog Patterson att θ _p var jämnfördelad med felterm asymptotiskt av ordningen $X^{\frac {5}{6}}$ istället för kvadratisk som med Gauss-summor, vilket kunde förklara den initiala förspänningen som observerades av Kummer . Nästa år visade hans efterföljande arbete med Heath-Brown, som motbevisade Kummers gissningar, att den i själva verket var jämnfördelad, men huruvida ordningen för den asymptotiska var korrekt förblev okänt. Mer än 20 år senare avslutade Heath-Brown problemet och gav en ny siktmetod och anade att den kunde förbättras för att få den förutspådda ordningen. År 2021 demonstrerades problemet villkorligt på den generaliserade Riemann-hypotesen av Alexander Dunn och Maksym Radziwill , som också visade att sikten från Heath Brown inte kunde förbättras som förväntat.

• Bredikhin, BM (2001) [1994], "Kummer hypothesis" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press