Vaughans identitet

Inom matematik och analytisk talteori är Vaughans identitet en identitet som hittats av RC Vaughan ( 1977 ) som kan användas för att förenkla Vinogradovs arbete med trigonometriska summor . Den kan användas för att uppskatta sammanfattande funktioner för formuläret

$\sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)$

där f är någon aritmetisk funktion av de naturliga heltalen n , vars värden i tillämpningar ofta är rötter till enhet, och Λ är von Mangoldt-funktionen .

Tillvägagångssätt för att tillämpa metoden

Motivationen för Vaughans konstruktion av sin identitet diskuteras kort i början av kapitel 24 i Davenport. För tillfället kommer vi att hoppa över de flesta tekniska detaljer som motiverar identiteten och dess användning i applikationer, och istället fokusera på konfigurationen av dess konstruktion efter delar. Efter referensen konstruerar vi fyra distinkta summor baserat på expansionen av den logaritmiska derivatan av Riemann zeta-funktionen i termer av funktioner som är partiella Dirichlet-serier respektive trunkerade vid de övre gränserna för $U$ och $V$ , respektive. Mer exakt definierar vi $F(s)=\sum _{m\leq U}\Lambda (m)m^{-s}$ och ${\displaystyle G(s)=\summa _{d\leq V}\mu (d)d^{-s}} ,$ vilket leder oss till den exakta identiteten som

$-{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=F(s)-\zeta (s)F(s)G(s)-\zeta ^ {\prime }(s)G(s)+\left(-{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}-F(s)\right)(1- \zeta (s)G(s)).$

Denna sista expansion innebär att vi kan skriva

$\Lambda (n)=a_{1}(n)+a_{2} (n)+a_{3}(n)+a_{4}(n),$

där komponentfunktionerna är definierade att vara

${\begin{aligned}a_{1}(n)&:={\Biggl \{}{\begin{matrix}\Lambda (n),&{\text{ if }}n\leq U; \\0,&{\text{ if }}n>U\end{matris}}\\a_{2}(n)&:=-\summa _{\stackrel {mdr=n}{\stackrel {m \leq U}{d\leq V}}}\Lambda (m)\mu (d)\\a_{3}(n)&:=\summa _{\stackrel {hd=n}{d\leq V }}\mu (d)\log(h)\\a_{4}(n)&:=-\summa _{\stackrel {mk=n}{\stackrel {m>U}{k>1}} }\Lambda (m)\left(\sum _{\stackrel {d|k}{d\leq V}}\mu (d)\right).\end{aligned}}$

Vi definierar sedan motsvarande summeringsfunktioner för $1\leq i\leq 4$ att vara

$S_{i}(N):=\summa _{n\leq N}f(n)a_{i} (n),$

så att vi kan skriva

$\sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)=S_{1}(N)+S_{2}(N)+S_{3}(N)+S_{4} (N).$

Slutligen, vid avslutningen av ett flersidigt argument av tekniska och ibland känsliga uppskattningar av dessa summor, får vi följande form av Vaughans identitet när vi antar att ${\displaystyle |f(n)|\leq 1,\ \forall n} ,$ U $\displaystyle U,V\geq 2}$ och $UV\ leq N$ :

$\sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)\ll U+(\log N)\ gånger \sum _{t\leq UV}\left(\max _{w}\ vänster|\sum _{w\leq r\leq {\frac {N}{t}}}f(rt)\right|\right)+{\sqrt {N}}(\log N)^{3} \times \max _{U\leq M\leq N/V}\max _{V\leq j\leq N/M}\left(\summa _{V<k\leq N/M}\left|\ summa _{\stackrel {M<m\leq 2M}{\stackrel {m\leq N/k}{m\leq N/j}}}f(mj){\bar {f(mk)}}\right |\right)^{1/2}\mathbf {(V1)} .$

Det påpekas att i vissa fall kan skarpare uppskattningar erhållas från Vaughans identitet genom att behandla komponentsumman $S_{2}$ mer noggrant genom att expandera den i form av

$S_{2}=\sum _{t\leq UV}\longmapsto \sum _{t\leq U}+\summa _{U<t\leq UV}=:S_{2}^{\prime }+S_{2}^{\prime \prime }.$

Optimiteten för den övre gränsen som erhålls genom att tillämpa Vaughans identitet verkar vara applikationsberoende med avseende på de bästa funktionerna $U=f_{U}(N)$ och $V=f_{V}(N)$ kan vi välja att mata in i ekvationen (V1). Se de applikationer som citeras i nästa avsnitt för specifika exempel som uppstår i de olika sammanhangen som övervägs av flera författare.

Ansökningar

• Vaughans identitet har använts för att förenkla beviset för Bombieri–Vinogradov-teoremet och för att studera Kummers summor (se referenserna och externa länkar nedan).
• I kapitel 25 i Davenport är en tillämpning av Vaughans identitet att uppskatta en viktig prim-relaterad exponentiell summa av Vinogradov definierad av

$S(\alpha ):=\summa _{n\leq N}\Lambda (n)e\left(n\alpha \right).$

I synnerhet får vi en asymptotisk övre gräns för dessa summor (typiskt utvärderade vid irrationella ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } )$ vars rationella approximationer uppfyller

$\left|\alpha -{\frac {a}{q}}\right|\leq {\frac {1}{q^{2}} },(a,q)=1,$

av formuläret

$S(\alpha )\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)(\log N )^{4}.$

Argumentet för denna uppskattning följer av Vaughans identitet genom att bevisa med ett något intrikat argument att

$S(\alpha )\ll \left(UV+q+{ \frac {N}{\sqrt {U}}}+{\frac {N}{\sqrt {V}}}+{\frac {N}{\sqrt {q}}}+{\sqrt {Nq} }\right)(\log(qN))^{4},$

och sedan härleda den första formeln ovan i de icke-triviala fallen när $q\leq N$ och med $U=V=N^{2/5}$ .

• En annan tillämpning av Vaughans identitet finns i kapitel 26 i Davenport där metoden används för att härleda uppskattningar för summor ( exponentiella summor ) av tre primtal .
• Exempel på Vaughans identitet i praktiken ges som följande referenser/citat i detta informativa inlägg :.

Generaliseringar

Vaughans identitet generaliserades av Heath-Brown (1982) .

Anteckningar

•   Davenport, Harold (31 oktober 2000). Multiplikativ talteori (tredje upplagan). New York: Springer Graduate Texts in Mathematics. ISBN 0-387-95097-4 .
• Graham, SW (2001) [1994], "Vaughans identitet" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•   Heath-Brown, DR (1982), "Primtal i korta intervall och en generaliserad Vaughan-identitet", Can. J. Math. , 34 (6): 1365–1377, doi : 10.4153/CJM-1982-095-9 , MR 0678676
•   Vaughan, RC (1977), "Sommes trigonométriques sur les nombres premiers", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A , 285 : 981–983, MR 0498434

externa länkar

• Bevis Wiki om Vaughans identitet
• Jonis Math Notes (mycket detaljerad utläggning)
• Encyclopedia of Mathematics
• Terry Taos blogg om den stora sållen och Bombieri-Vinogradovs sats