Alexander horned sfär
Alexanderhornsfären är ett patologiskt objekt i topologin upptäckt av JW Alexander ( 1924 ) .
Konstruktion
.jpg)
Alexanderhornsfären är den speciella inbäddningen av en sfär i det tredimensionella euklidiska rymden som erhålls genom följande konstruktion, som börjar med en standardtorus :
- Ta bort en radiell skiva av torus.
- Anslut en standard punkterad torus till varje sida av snittet, sammanlänkad med torus på andra sidan.
- Upprepa steg 1–2 på de två tori som just lagts till i oändlighet .
Genom att endast beakta de punkter på tori som inte tas bort i något skede, resulterar en inbäddning i sfären med en Cantor-set borttagen. Denna inbäddning sträcker sig till hela sfären, eftersom punkter som närmar sig två olika punkter i Cantor-setet kommer att vara åtminstone ett fast avstånd från varandra i konstruktionen.
Inverkan på teorin
Den behornade sfären, tillsammans med dess insida, är en topologisk 3-kula , Alexander horned bollen , och så är helt enkelt ansluten ; dvs varje slinga kan krympas till en punkt medan du vistas inne. Exteriören är inte bara sammankopplad, till skillnad från exteriören av den vanliga runda sfären; en slinga som förbinder en torus i ovanstående konstruktion kan inte krympas till en punkt utan att röra den behornade sfären. Detta visar att Jordan–Schönflies-satsen inte håller i tre dimensioner, som Alexander ursprungligen trodde. Alexander bevisade också att teoremet håller i tre dimensioner för bitvis linjär / släta inbäddningar. Detta är ett av de tidigaste exemplen där behovet av att skilja mellan kategorierna topologiska grenrör , differentierbara grenrör och bitvis linjära grenrör blev uppenbart .
Betrakta nu Alexanders behornade sfär som en inbäddning i 3-sfären , betraktad som enpunktskomprimeringen av det 3-dimensionella euklidiska rummet R 3 . Stängningen av den icke-enkelt anslutna domänen kallas den solida Alexander - hornsfären . Även om den solida hornade sfären inte är ett grenrör , visade RH Bing att dess dubbel (vilket är 3-grenröret som erhålls genom att limma ihop två kopior av den behornade sfären längs motsvarande punkter på deras gränser) i själva verket är 3-sfären. Man kan betrakta andra limningar av den solida hornade sfären till en kopia av sig själv, som härrör från olika homeomorfismer av gränssfären till sig själv. Detta har också visat sig vara 3-sfären. Den solida Alexander-hornsfären är ett exempel på en skrynklig kub ; dvs en sluten komplementär domän för inbäddningen av en 2-sfär i 3-sfären.
Generaliseringar
Man kan generalisera Alexanders konstruktion för att generera andra hornade sfärer genom att öka antalet horn i varje skede av Alexanders konstruktion eller överväga den analoga konstruktionen i högre dimensioner.
Andra väsentligt olika konstruktioner existerar för att konstruera sådana "vilda" sfärer. Ett annat exempel, som också hittats av Alexander, är Antoines behornade sfär , som är baserad på Antoines halsband , en patologisk inbäddning av Cantor i 3-sfären.
Se även
- Kantorträdets yta
- Lista över topologier
- Platonsk solid
- Vild båge , närmare bestämt Fox-Artin-bågen
- Alexander, JW (1924), "An Example of a Simply Connected Surface Bounding a Region which is not Simply Connected", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , National Academy of Sciences, 10 (1): 8 –10, Bibcode : 1924PNAS...10....8A , doi : 10.1073/pnas.10.1.8 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 84202 , PMC 1085500 , PMID 16576780
- Fuchs, Dmitry ; Tabachnikov, Serge (2007), Matematisk omnibus. 30 föreläsningar om klassisk matematik , Providence, RI: American Mathematical Society, doi : 10.1090/mbk/046 , ISBN 978-0-8218-4316-1 , MR 2350979
- Hatcher, Allen , Algebraic Topology, http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
- Hocking, John Gilbert; Young, Gail Sellers (1988) [1961]. Topologi . Dover. ISBN 0-486-65676-4 .
- Spivak, Michael (1999). En omfattande introduktion till differentialgeometri (Volym 1) . Publicera eller förgås. ISBN 0-914098-70-5 .
externa länkar
- Weisstein, Eric W. "Alexanders behornade sfär" . MathWorld .
- Zbigniew Fiedorowicz. Math 655 – Introduktion till topologi. [1] – Föreläsningsanteckningar
- Konstruktion av Alexandersfären
- roterande animation
- PC OpenGL demo rendering och expanderar cusp